目录

线性代数（1）矩阵和行列式

1，转置

2，迹

3，行列式的性质

4，拉普拉斯定理

5，等价矩阵

6，秩

7，标准形

8，初等矩阵

9，逆矩阵

10，伴随矩阵

线性代数（2）线性方程组

线性代数（3）题目

线性代数（4）特征、正交、秩

线性代数（5）向量空间

线性代数（6）相似、对角化

线性代数（7）二次型

线性代数（1）矩阵和行列式

1，转置

转置即行列交换

2，迹

主对角线元素之和

性质：

tᵣ（AB）= tᵣ（BA）

3，行列式的性质

（1）交换两行，行列式只改变符号

（2）若行列式某一行可以写成2个行向量之和，则行列式可以写成对应的2个行列式之和。

（3）|AB| = |A| |B|

4，拉普拉斯定理

任取D的k行，由这k行构成的所有k阶子式与对应代数余子式乘积之和为|D|

5，等价矩阵

若A经过有限次初等变换后化为B，则称A和B等价，记为A~B

性质：

（1）A~A（2）A~B则B~A（3）A~B，B~C，则A~C

6，秩

矩阵的秩是矩阵的非0子式的最高阶数

性质：

（1）若A~B，则R(A)=R(B)

（2）若有1个r阶非0子式Dr，包含Dr的任意r+1阶子式为0，则R(A)=r

（3）n阶方阵A，A的行列式不等于0等价于R(A)=n，A的行列式等于0等价于R(A)<n 

（4）

7，标准形

任何非0矩阵都可以用初等变换化为，称之为标准形

其中r是矩阵的秩

8，初等矩阵

由E经过1次初等变换后得到的矩阵叫初等矩阵

9，逆矩阵

若AB=E，则称AB互为逆矩阵，记为B=A⁻¹

性质：

（1）A可逆等价于A的行列式不为0

（2）|A⁻¹| = |A|⁻¹，（A⁻¹）⁻¹=A

（3）

（4）若A、B可逆，则（AB）⁻¹=B⁻¹A⁻¹

10，伴随矩阵

伴随矩阵A*是A的代数余子式的方阵的转置

性质：

（1）A*A=|A|E，|A*|等于|A|的n-1次方

（2）若|A|不为0，则

A⁻¹=A* / |A|，(A⁻¹)* = (A*)⁻¹ = A / |A|， 

（3）(AB)* = B*A*

线性代数（2）线性方程组

1，克拉默法则

（1）非齐次方程组若系数行列式D不等于0，则有唯一解

（2）若齐次方程组有非0解，则D=0

2，增广矩阵

对于m个n元方程组成的方程组，Ax=b的增广矩阵B=（A，b）

3，有解的条件

齐次方程组有非0解，等价于R（A）< n

非齐次方程组有解，等价于R（A）=R（B）

PS：在B经过初等行变换化成阶梯形时，R（A）和 R（B）同时求出来了

4，基础解系

（1）若齐次有非0解，则它有基础解系，且所含的解向量个数为n-R(A)

（2）齐次的任意n-R(A)个线性无关的解向量都构成基础解系

5，非齐次方程的通解

非齐次方程的通解 = 非齐次方程的特解 + 对应齐次方程的通解

线性代数（3）题目

1，A ³=2E ， B=A²-2A+E，证明B⁻¹存在，并求B⁻¹
解: B=（ A-E）²
(A-E)( A²+A+E)=A³-E=2E-E=E
∴（ A-E）²（ A²+A+E）²=E，即B（ A²+A+E）²=E
∴B⁻¹=（ A²+A+E）²=3A²+4A+5E

2，证明不存在A，B，AB-BA=E
解:tᵣ（AB-BA）=tᵣ（AB）-tᵣ（BA）=0
tᵣ（E）=n
∴AB-BA≠E
3，A,B为n阶方阵，AAᵀ=AᵀA=E，BBᵀ=BᵀB=E，|A|+|B|=0,求IA+BI
解:AAᵀ=E，BBᵀ=E
∴|A|=±1,|B|=±1
∴|A|=1,|B|=-1, 或|A|=-1,|B|=1
∴|A+B|=|ABᵀB+AAᵀB|=|A(Bᵀ+Aᵀ)B|=|A||Bᵀ+Aᵀ||B|
∴|A+B|=-|Bᵀ+Aᵀ|=-|(A+B)ᵀ|=-|A+BI
∴|A+BI=0
4，证明若AᵀA=0, 则A=0
解:则AᵀA的迹为
∴∀i,j, aᵢⱼ=0
即A=0

5，设可由线性表出，且表达式唯一，证明线性无关。

线性代数（4）特征、正交、秩

1，

2，

4，正交矩阵

（1）若A是方阵，，即，则称A为正交矩阵

（2）A为正交矩阵等价于，A的行（列）向量组是正交的单位向量组

（3）正交矩阵的行列式是正负1

（4）若A、B为正交矩阵，则也是正交矩阵

特征值、特征向量

线性代数（5）向量空间

线性代数（6）相似、对角化

1.A，B为n阶距阵，若B=P⁻¹AP，则称A，B相似
2.相似矩阵的性质:①反身性，对称性，传递性
   ②若|A|~B则|A|=|B|
   ③P⁻¹(A₁A₂)P=(P⁻¹A₁P）(P⁻¹A₂P)
   ④若A~B则Aᵐ ~ Bᵐ
   ⑤若A~B,  A、B可逆，则A⁻¹ ~ B⁻¹
3.若A~B, 则A、B有相同的特征多项式、特征值。
4.若A与对角阵B相似，则B对角线上的n个数是A的n个特征值
5.可对角化
 ①若P⁻¹AP为对角阵，即A与对角阵相似，则可称A对角化。
 ②A可对角化⇔A有n个线性无关的特征向量。
6.复数域上∀A，∃B是上三角矩阵，且A与B相似，且B的主对角线上元素为a的特征值
7.哈密顿-凯莱定理
 设f(λ)=|λE-A|是A的特征多项式，则f(A)=O矩阵。
8.若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。
9.实对称矩阵
  ①特征值都是实数，特征向量可取实向量。

  ②对应于不同特征值的特征向量是正相交的。

  ③一定可对角化，表示成P⁻¹AP，其中P是正交矩阵，A是特征值组成的对角阵

  ④可以表示成

线性代数（7）二次型

1，二次型：如果一个多项式的每一项都是二次，那么称它为二次型。

可以表示成，其中A是对称矩阵。

一个n元二次型f，和一个n阶对称矩阵A是对应的。

2，正定和负定

（1）如果对于任何非零列向量X，都有，则称f为正定二次型，称矩阵A为正定矩阵。
（2）如果对于任何非零列向量X，都有，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵。
（3）如果对于任何非零列向量X，都有，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵。
（4）如果对于任何非零列量X，都有，则称f为半负定二次型，称A为半负定矩阵。
（5）其它的实二次型称为不定二次型，其矩阵称为不定矩阵。

3，二次型和特征值的关系

实对称矩阵可以表示成A = ,  所以

所有特征值都是正数的矩阵被称为正定，所有特征值都是非 负数的矩阵被称为半正定，所有特征值都是非负数的矩阵被称为半正定，所有特征值都是非 负数的矩阵被称为半正定。

4，负惯指数：矩阵的负的特征值个数

     对于n阶实二次型A，A负定⇔A的负惯指数为n
5，若A可逆，则AᵀA正定。

6，若A正定，则A⁻¹正定，Aᵀ正定， A*正定

文章来源: blog.csdn.net，作者：csuzhucong，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/118501768