理解相似矩阵

• 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$ , 使得 $B=P^{-1}AP$ , 则称 $B$是 $A$的相似矩阵。

• 相似矩阵是同一个线性变换在不同基向量下的不同矩阵表示.

  • $P$是基变换矩阵(Base Change Matrix), 它是一个不改变空间维数的可逆线性变换, 其目的是改变当前线性空间的基底: $(\ \vec i',\ \vec j'\ )\rightarrow (\ \vec i,\ \vec j\ )$, 也可以理解为进行坐标换算, 但是不改变空间里面的实际位置

所以图里面右边的

$$v'\rightarrow Bv'$$

等价于

• 先变换基底到 $V_1$, 得到位置相同但是坐标不同的向量 $v$

$$v'\rightarrow Pv'$$

• 然后进行 $V_1$下面等价的线性变换 $A$, 得到 $V_1$下的结果 $Av$

$$v'\rightarrow Pv'\rightarrow APv'$$

• 最后再把基底换回来, 得到 $V_2$里面的结果

$$v'\rightarrow Pv'\rightarrow APv'\rightarrow P^{-1}APv'$$

我们有:

$$P^{-1}AP = B$$

[^1]

[^1]: 如何理解相似矩阵？ - 知乎