Python音频信号处理 1.短时傅里叶变换及其逆变换

短时傅里叶变换及其逆变换
本篇文章主要记录了使用python进行短时傅里叶变换，分析频谱，以及通过频谱实现在频域内降低底噪的代码及分析，希望可以给同样在学习信号处理的大家一点帮助，也希望大家对我的文章多提意见建议。

一. 短时傅里叶变换与离散傅里叶变换
在这篇文章中我们主要运用了短时傅里叶变换，要想清楚地理解短时傅里叶变换，首先必须要了解离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。

1.离散傅里叶变换
离散傅里叶的定义:

离散傅里叶变换适用于在时域上不连续且有限的数字信号，在上述公式中，x[n] 就是我们在时域中的初始数字信号，Fe 对应这个信号的采样频率。在离散傅里叶变换中，首先初始数字信号本身是离散的，在上式中初始信号x[n]是在时域内的一段有限信号，N代表了该段数字信号一共包含N个采样点，即其在时域上的长度为1/Fe * N。同时离散傅里叶变换所得的结果X[k]在频域上也是离散的，简而言之，是将频域[0,Fe]等分成了M份 :

[k]也可以理解为包含了M个复数值的向量。在离散傅里叶变换中，采样点的个数N(时域上的取样长度)，以及频域上的采样个数M都是可调整的，两个采样个数的选择对于DFT的解析度和精确度会有影响，这里就不过多展开。

我们在实际应用离散傅里叶变换时，会发现，有的时域上完全不同的信号，他们的离散傅里叶变换频谱却是一致的，因此我们引入一个新的 短时傅里叶变换(STFT)。

2.短时傅里叶变换
短时傅里叶变换的定义 :

当引入了时间变量τ \tauτ之后我们就可以针对不同瞬间进行频谱分析，对于每一个瞬间τ \tauτ我们都可以获取信号在该时刻的频谱。

二. 使用python 进行短时傅里叶变换
在这一部分我会分享基于python的短时傅里叶变换的实现，可供参考。
首先是可能使用到的python库

接下来就是短时傅里叶变换的python实现

上述函数解释:
参数部分
trame和Fe : 初始的数字信号和它的采样频率
Nfft : 上文提到的离散傅里叶变换中，频域的采样个数M
fenetre : 短时傅里叶变换中使用的窗函数，在接下来的实现中我都使用了汉明窗np.hamming。
Nwin : 窗函数的长度(包含点的个数)
Nhop : 窗函数每次滑动的长度，一般规定为Nwin/2，窗函数长度的一半

首先创建一个M行L列的矩阵xmat，该矩阵的每一行代表一个0-Fe的频率，单位为Hz，每一列对应该段被窗函数截取的信号的FFT快速傅里叶变换。

三. 使用overlapp-add算法进行短时傅里叶变换的逆变换重构原信号
在这一部分中，我们使用了overlapp-add算法来进行短时傅里叶变换的逆变换。
下面是该部分的全部代码，之后会逐步解释算法的实现 :

该算法的实现需要三步。

1. 快速傅里叶逆变换

第一步，对上一部分得出的矩阵xmat进行快速傅里叶变换的逆变换，得出同样规格M行L列的矩阵yl。

2. 对各列进行平移并叠加

对yl矩阵的每一列平移 (l-1)Nhop，l ∈ \in∈ [1,L]，例如第一列不变，第二列平移Nhop，第三列平移2Nhop，以此类推。之后将所有列的转置，叠加到总长度为Nfft +(L-1)*Nhop的向量yvect中。

3. 标准化