【大话数据结构C语言】56 二叉排序树的查找、插入和删除
【摘要】
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二叉排序树查找关键字
二叉排序树中插入关键字
二叉排序树中删除关键字
总结
二叉排序树查找关键字
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二叉排序树查找关键字
二叉排序树中查找某关键字时，查找过程类似于次优二叉树，在二叉排序树不为空树的前提下，首先将被查找值同树的根结点进行比较，会有 3 种不同的结果：
-
如果相等，查找成功；
-
如果比较结果为根结点的关键字值较大，则说明该关键字可能存在其左子树中；
-
如果比较结果为根结点的关键字值较小，则说明该关键字可能存在其右子树中；
实现函数为：（运用递归的方法）
BiTree SearchBST(BiTree T,KeyType key){
//如果递归过程中 T 为空，则查找结果，返回NULL；或者查找成功，返回指向该关键字的指针
if (!T || key==T->data) {
return T;
}else if(key<T->data){
//递归遍历其左孩子
return SearchBST(T->lchild, key);
}else{
//递归遍历其右孩子
return SearchBST(T->rchild, key);
}
}
二叉排序树中插入关键字
二叉排序树本身是动态查找表的一种表示形式，有时会在查找过程中插入或者删除表中元素，当因为查找失败而需要插入数据元素时，该数据元素的插入位置一定位于二叉排序树的叶子结点，并且一定是查找失败时访问的最后一个结点的左孩子或者右孩子
例如，在下图 的二叉排序树中做查找关键字 1 的操作，当查找到关键字 3 所在的叶子结点时，判断出表中没有该关键字，此时关键字 1 的插入位置为关键字 3 的左孩子。
所以，二叉排序树表示动态查找表做插入操作，只需要稍微更改一下上面的代码就可以实现，具体实现代码为：
BOOL SearchBST(BiTree T,KeyType key,BiTree f,BiTree *p){
//如果 T 指针为空，说明查找失败，令 p 指针指向查找过程中最后一个叶子结点，并返回查找失败的信息
if (!T){
*p=f;
return false;
}
//如果相等，令 p 指针指向该关键字，并返回查找成功信息
else if(key==T->data){
*p=T;
return true;
}
//如果 key 值比 T 根结点的值小，则查找其左子树；反之，查找其右子树
else if(key<T->data){
return SearchBST(T->lchild,key,T,p);
}else{
return SearchBST(T->rchild,key,T,p);
}
}
//插入函数
BOOL InsertBST(BiTree T,ElemType e){
BiTree p=NULL;
//如果查找不成功，需做插入操作
if (!SearchBST(T, e,NULL,&p)) {
//初始化插入结点
BiTree s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTree));
s->data=e;
s->lchild=s->rchild=NULL;
//如果 p 为NULL，说明该二叉排序树为空树，此时插入的结点为整棵树的根结点
if (!p) {
T=s;
}
//如果 p 不为 NULL，则 p 指向的为查找失败的最后一个叶子结点，只需要通过比较 p 和 e 的值确定 s 到底是 p 的左孩子还是右孩子
else if(e<p->data){
p->lchild=s;
}else{
p->rchild=s;
}
return true;
}
//如果查找成功，不需要做插入操作，插入失败
return false;
}
通过使用二叉排序树对动态查找表做查找和插入的操作，同时在中序遍历二叉排序树时，可以得到有关所有关键字的一个有序的序列。
例如，假设原二叉排序树为空树，在对动态查找表 {3，5，7，2，1} 做查找以及插入操作时，可以构建出一个含有表中所有关键字的二叉排序树，过程如下图所示:
通过不断的查找和插入操作，最终构建的二叉排序树如图 2（5） 所示。当使用中序遍历算法遍历二叉排序树时，得到的序列为： 1 2 3 5 7 ，为有序序列。
一个无序序列可以通过构建一棵二叉排序树，从而变成一个有序序列。
二叉排序树中删除关键字
在查找过程中，如果在使用二叉排序树表示的动态查找表中删除某个数据元素时，需要在成功删除该结点的同时，依旧使这棵树为二叉排序树。
假设要删除的为结点 p，则对于二叉排序树来说，需要根据结点 p 所在不同的位置作不同的操作，有以下 3 种可能：
1、结点 p 为叶子结点，此时只需要删除该结点，并修改其双亲结点的指针即可；
2、结点 p 只有左子树或者只有右子树，如果 p 是其双亲节点的左孩子，则直接将 p 节点的左子树或右子树作为其双亲节点的左子树；反之也是如此，如果 p 是其双亲节点的右孩子，则直接将 p 节点的左子树或右子树作为其双亲节点的右子树；
3、结点 p 左右子树都有，此时有两种处理方式：
1）令结点 p 的左子树为其双亲结点的左子树；结点 p 的右子树为其自身直接前驱结点的右子树，如下图所示；
2）用结点 p 的直接前驱（或直接后继）来代替结点 p，同时在二叉排序树中对其直接前驱（或直接后继）做删除操作。如下图为使用直接前驱代替结点 p：
上图中，在对左图进行中序遍历时，得到的结点 p 的直接前驱结点为结点 s，所以直接用结点 s 覆盖结点 p，由于结点 s 还有左孩子，根据第 2 条规则，直接将其变为双亲结点的右孩子。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define ElemType int
#define KeyType int
/* 二叉排序树的节点结构定义 */
typedef struct BiTNode
{
int data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
//二叉排序树查找算法
int SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree *p) {
//如果 T 指针为空，说明查找失败，令 p 指针指向查找过程中最后一个叶子结点，并返回查找失败的信息
if (!T) {
*p = f;
return FALSE;
}
//如果相等，令 p 指针指向该关键字，并返回查找成功信息
else if (key == T->data) {
*p = T;
return TRUE;
}
//如果 key 值比 T 根结点的值小，则查找其左子树；反之，查找其右子树
else if (key < T->data) {
return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
}
else {
return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}
}
int InsertBST(BiTree *T, ElemType e) {
BiTree p = NULL;
//如果查找不成功，需做插入操作
if (!SearchBST((*T), e, NULL, &p)) {
//初始化插入结点
BiTree s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = e;
s->lchild = s->rchild = NULL;
//如果 p 为NULL，说明该二叉排序树为空树，此时插入的结点为整棵树的根结点
if (!p) {
*T = s;
}
//如果 p 不为 NULL，则 p 指向的为查找失败的最后一个叶子结点，只需要通过比较 p 和 e 的值确定 s 到底是 p 的左孩子还是右孩子
else if (e < p->data) {
p->lchild = s;
}
else {
p->rchild = s;
}
return TRUE;
}
//如果查找成功，不需要做插入操作，插入失败
return FALSE;
}
//删除函数
int Delete(BiTree *p)
{
BiTree q, s;
//情况 1，结点 p 本身为叶子结点，直接删除即可
if (!(*p)->lchild && !(*p)->rchild) {
*p = NULL;
}
else if (!(*p)->lchild) { //左子树为空，只需用结点 p 的右子树根结点代替结点 p 即可；
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}
else if (!(*p)->rchild) {//右子树为空，只需用结点 p 的左子树根结点代替结点 p 即可；
q = *p;
*p = (*p)->lchild;//这里不是指针 *p 指向左子树，而是将左子树存储的结点的地址赋值给指针变量 p
free(q);
}
else {//左右子树均不为空，采用第 2 种方式
q = *p;
s = (*p)->lchild;
//遍历，找到结点 p 的直接前驱
while (s->rchild)
{
q = s;
s = s->rchild;
}
//直接改变结点 p 的值
(*p)->data = s->data;
//判断结点 p 的左子树 s 是否有右子树，分为两种情况讨论
if (q != *p) {
q->rchild = s->lchild;//若有，则在删除直接前驱结点的同时，令前驱的左孩子结点改为 q 指向结点的孩子结点
}
else {
q->lchild = s->lchild;//否则，直接将左子树上移即可
}
free(s);
}
return TRUE;
}
int DeleteBST(BiTree *T, int key)
{
if (!(*T)) {//不存在关键字等于key的数据元素
return FALSE;
}
else
{
if (key == (*T)->data) {
Delete(T);
return TRUE;
}
else if (key < (*T)->data) {
//使用递归的方式
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
}
else {
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
}
void order(BiTree t)//中序输出
{
if (t == NULL) {
return;
}
order(t->lchild);
printf("%d ", t->data);
order(t->rchild);
}
int main()
{
int i;
int a[5] = { 3,4,2,5,9 };
BiTree T = NULL;
for (i = 0; i < 5; i++) {
InsertBST(&T, a[i]);
}
printf("中序遍历二叉排序树：\n");
order(T);
printf("\n");
printf("删除3后，中序遍历二叉排序树：\n");
DeleteBST(&T, 3);
order(T);
}
运行结果：
中序遍历二叉排序树：
2 3 4 5 9
删除3后，中序遍历二叉排序树：
2 4 5 9
总结
使用二叉排序树在查找表中做查找操作的时间复杂度 同建立的二叉树本身的结构有关。即使查找表中各数据元素完全相同，但是不同的排列顺序，构建出的二叉排序树大不相同。
例如：查找表 {45，24，53，12，37，93} 和表 {12，24，37，45，53，93} 各自构建的二叉排序树图下图所示：
使用二叉排序树实现动态查找操作的过程，实际上就是从二叉排序树的根结点到查找元素结点的过程，所以时间复杂度同被查找元素所在的树的深度（层次数）有关。
为了弥补二叉排序树构造时产生如图 5 右侧所示的影响算法效率的因素，需要对二叉排序树做“平衡化”处理，使其成为一棵平衡二叉树。
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原文链接：allen5g.blog.csdn.net/article/details/116903929
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