【大话数据结构C语言】57 平衡二叉树（AVL树）

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平衡二叉排序树

平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每一个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1

有两位俄罗斯数学家 G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis发明一种解决平衡二叉树的算法，所以很多资料称这样的平衡二叉树为AVL树

平衡因子：每个结点都有其各自的平衡因子，表示的就是其左子树深度同右子树深度的差。平衡二叉树中各结点平衡因子的取值只可能是：0、1 和 -1。

如图 1 所示，其中 （a） 的两棵二叉树中由于各个结点的平衡因子数的绝对值都不超过 1，所以 （a） 中两棵二叉树都是平衡二叉树；而 （b） 的两棵二叉树中有结点的平衡因子数的绝对值超过 1，所以都不是平衡二叉树。

二叉排序树转化为平衡二叉树

为了排除动态查找表中不同的数据排列方式对算法性能的影响，需要考虑在不会破坏二叉排序树本身结构的前提下，将二叉排序树转化为平衡二叉树。

例如，使用上一节的算法在对查找表{13，24，37，90，53}构建二叉排序树时，当插入 13 和 24 时，二叉排序树此时还是平衡二叉树：

当继续插入 37 时，生成的二叉排序树如图 3（a），平衡二叉树的结构被破坏，此时只需要对二叉排序树做“旋转”操作（如图 3（b）），即整棵树以结点 24 为根结点，二叉排序树的结构没有破坏，同时将该树转化为了平衡二叉树：

当二叉排序树的平衡性被打破时，就如同扁担的两头出现了一头重一头轻的现象，如图3（a）所示，此时只需要改变扁担的支撑点（树的树根），就能使其重新归为平衡。实际上图 3 中的 （b） 是对（a） 的二叉树做了一个向左逆时针旋转的操作。

继续插入 90 和 53 后，二叉排序树如图 4（a）所示，导致二叉树中结点 24 和 37 的平衡因子的绝对值大于 1 ，整棵树的平衡被打破。此时，需要做两步操作：

1. 如图 4（b） 所示，将结点 53 和 90 整体向右顺时针旋转，使本该以 90 为根结点的子树改为以结点 53 为根结点；

2. 如图 4（c） 所示，将以结点 37 为根结点的子树向左逆时针旋转，使本该以 37 为根结点的子树，改为以结点 53 为根结点；

做完以上操作，即完成了由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。

当平衡二叉树由于新增数据元素导致整棵树的平衡遭到破坏时，就需要根据实际情况做出适当的调整，假设距离插入结点最近的“不平衡因子”为 a。则调整的规律可归纳为以下 4 种情况：

• 单向右旋平衡处理：若由于结点 a 的左子树为根结点的左子树上插入结点，导致结点 a 的平衡因子由 1 增至 2，致使以 a 为根结点的子树失去平衡，则只需进行一次向右的顺时针旋转，如下图这种情况：

单向左旋平衡处理：如果由于结点 a 的右子树为根结点的右子树上插入结点，导致结点 a 的平衡因子由 -1变为 -2，则以 a 为根结点的子树需要进行一次向左的逆时针旋转，如下图这种情况：

 双向旋转（先左后右）平衡处理：如果由于结点 a 的左子树为根结点的右子树上插入结点，导致结点 a 平衡因子由 1 增至 2，致使以 a 为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转操作，如下图这种情况：

双向旋转（先右后左）平衡处理：如果由于结点 a 的右子树为根结点的左子树上插入结点，导致结点 a 平衡因子由 -1 变为 -2，致使以 a 为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转（先右旋后左旋）操作，如下图这种情况：

在对查找表{13，24，37，90，53}构建平衡二叉树时，由于符合第 4 条的规律，所以进行先右旋后左旋的处理，最终由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。

      #include <stdio.h>
      #include <stdlib.h>
      //分别定义平衡因子数
      #define LH +1
      #define EH 0
      #define RH -1
      typedef int ElemType;
      typedef enum {false,true} bool;
      //定义二叉排序树
      typedef struct BSTNode{
          ElemType data;
         int bf;//balance flag
         struct BSTNode *lchild,*rchild;
      }*BSTree,BSTNode;
      //对以 p 为根结点的二叉树做右旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
      void R_Rotate(BSTree* p)
      {
         //借助文章中的图 5 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
          BSTree lc = (*p)->lchild;
          (*p)->lchild = lc->rchild;
          lc->rchild = *p;
          *p = lc;
      }
      对以 p 为根结点的二叉树做左旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
      void L_Rotate(BSTree* p)
      {
         //借助文章中的图 6 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
          BSTree rc = (*p)->rchild;
          (*p)->rchild = rc->lchild;
          rc->lchild = *p;
          *p = rc;
      }
      //对以指针 T 所指向结点为根结点的二叉树作左子树的平衡处理，令指针 T 指向新的根结点
      void LeftBalance(BSTree* T)
      {
          BSTree lc,rd;
          lc = (*T)->lchild;
         //查看以 T 的左子树为根结点的子树，失去平衡的原因，如果 bf 值为 1 ，则说明添加在左子树为根结点的左子树中，需要对其进行右旋处理；反之，如果 bf 值为 -1，说明添加在以左子树为根结点的右子树中，需要进行双向先左旋后右旋的处理
         switch (lc->bf)
          {
             case LH:
                  (*T)->bf = lc->bf = EH;
                 R_Rotate(T);
                 break;
             case RH:
                  rd = lc->rchild;
                 switch(rd->bf)
              {
                 case LH:
                      (*T)->bf = RH;
                      lc->bf = EH;
                     break;
                 case EH:
                      (*T)->bf = lc->bf = EH;
                     break;
                 case RH:
                      (*T)->bf = EH;
                      lc->bf = LH;
                     break;
              }
                  rd->bf = EH;
                 L_Rotate(&(*T)->lchild);
                 R_Rotate(T);
                 break;
          }
      }
      //右子树的平衡处理同左子树的平衡处理完全类似
      void RightBalance(BSTree* T)
      {
          BSTree lc,rd;
          lc= (*T)->rchild;
         switch (lc->bf)
          {
             case RH:
                  (*T)->bf = lc->bf = EH;
                 L_Rotate(T);
                 break;
             case LH:
                  rd = lc->lchild;
                 switch(rd->bf)
              {
                 case LH:
                      (*T)->bf = EH;
                      lc->bf = RH;
                     break;
                 case EH:
                      (*T)->bf = lc->bf = EH;
                     break;
                 case RH:
                      (*T)->bf = EH;
                      lc->bf = LH;
                     break;
              }
                  rd->bf = EH;
                 R_Rotate(&(*T)->rchild);
                 L_Rotate(T);
                 break;
          }
      }
      int InsertAVL(BSTree* T,ElemType e,bool* taller)
      {
         //如果本身为空树，则直接添加 e 为根结点
         if ((*T)==NULL)
          {
              (*T)=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
              (*T)->bf = EH;
              (*T)->data = e;
              (*T)->lchild = NULL;
              (*T)->rchild = NULL;
              *taller=true;
          }
         //如果二叉排序树中已经存在 e ，则不做任何处理
         else if (e == (*T)->data)
          {
              *taller = false;
             return 0;
          }
         //如果 e 小于结点 T 的数据域，则插入到 T 的左子树中
         else if (e < (*T)->data)
          {
             //如果插入过程，不会影响树本身的平衡，则直接结束
             if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
                 return 0;
             //判断插入过程是否会导致整棵树的深度 +1
             if(*taller)
              {
                 //判断根结点 T 的平衡因子是多少，由于是在其左子树添加新结点的过程中导致失去平衡，所以当 T 结点的平衡因子本身为 1 时，需要进行左子树的平衡处理，否则更新树中各结点的平衡因子数
                 switch ((*T)->bf)
                  {
                     case LH:
                         LeftBalance(T);
                          *taller = false;
                         break;
                     case  EH:
                          (*T)->bf = LH;
                          *taller = true;
                         break;
                     case RH:
                          (*T)->bf = EH;
                          *taller = false;
                         break;
                  }
              }
          }
         //同样，当 e>T->data 时，需要插入到以 T 为根结点的树的右子树中，同样需要做和以上同样的操作
         else
          {
             if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
                 return 0;
             if (*taller)
              {
                 switch ((*T)->bf)
                  {
                     case LH:
                          (*T)->bf = EH;
                          *taller = false;
                         break;
                     case EH:
                          (*T)->bf = RH;
                          *taller = true;
                         break;
                     case  RH:
                         RightBalance(T);
                          *taller = false;
                         break;
                  }
              }
          }
         return 1;
      }
      //判断现有平衡二叉树中是否已经具有数据域为 e 的结点
      bool FindNode(BSTree root,ElemType e,BSTree* pos)
      {
          BSTree pt = root;
          (*pos) = NULL;
         while(pt)
          {
             if (pt->data == e)
              {
                 //找到节点，pos指向该节点并返回true
                  (*pos) = pt;
                 return true;
              }
             else if (pt->data>e)
              {
                  pt = pt->lchild;
              }
             else
                  pt = pt->rchild;
          }
         return false;
      }
      //中序遍历平衡二叉树
      void InorderTra(BSTree root)
      {
         if(root->lchild)
             InorderTra(root->lchild);
         printf("%d ",root->data);
         if(root->rchild)
             InorderTra(root->rchild);
      }
      int main()
      {
         int i,nArr[] = {1,23,45,34,98,9,4,35,23};
          BSTree root=NULL,pos;
         bool taller;
         //用 nArr查找表构建平衡二叉树（不断插入数据的过程）
         for (i=0;i<9;i++)
          {
             InsertAVL(&root,nArr[i],&taller);
          }
         //中序遍历输出
         InorderTra(root);
         //判断平衡二叉树中是否含有数据域为 103 的数据
         if(FindNode(root,103,&pos))
             printf("\n%d\n",pos->data);
         else
             printf("\nNot find this Node\n");
         return 0;
      }
  
 

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