【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（23）：维数、基与坐标
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6.2 维数、基与坐标
定义2
在线性空间 V V V中，如果存在 n n n个元素 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn，满足：
- α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性无关
- V V V中任一元素 α \alpha α总可由 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性表示
那么 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn就称为线性空间 V V V的一个基， n n n称为线性空间 V V V的维数
只含有一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0
维数为 n n n的线性空间称为 n n n维线性空间，记作 V V V
对于 n n n维线空间 V n V_n Vn，若知 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn为 V n V_n Vn的一个基，则 V n V_n Vn可表示为
V n = { α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n ｜ x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ R } V_n=\{\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n｜x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} \} Vn={α=x1α1+x2α2+...+xnαn｜x1,x2,...,xn∈R}
即 V n V_n Vn是基 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn所生成的线性空间
若 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn是 V n V_n Vn的一个基，则对任何 α ∈ V n \alpha \in V_n α∈Vn，都有惟一的一组有序数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，使
α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n α=x1α1+x2α2+...+xnαn
反之，任给一组有序数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，总有惟一的元素
α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) [ x 1 x 2 . . . x n ] ∈ V n \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n =(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)
以上说明 V n V_n Vn中的元素 α \alpha α与有序数组 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T (x_1,x_2,...,x_n)^T (x1,x2,...,xn)T之间存在一种一一对应的关系
简单的理解，任何一个向量在空间 V n V_n Vn中坐标是惟一的，即向量与坐标是一一对应的
定义3
设 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn是线性空间 V n V_n Vn的一个基
对任一元素 α ∈ V n \alpha \in V_n α∈Vn，总有且仅有一组有序数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，使
α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n α=x1α1+x2α2+...+xnαn
有序数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn称为元素 α \alpha α在 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn这个基下的坐标，记作
α = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T \alpha=(x_1,x_2,...,x_n)^T α=(x1,x2,...,xn)T
结语
说明：
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
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