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5.7 正定二次型

二次型的标准型不是惟一的，只是标准形中所含的项数是确定的（即二次型的秩）

定理9：惯性定理

设有二次型$f=x^{T}Ax$，它的秩为$r$，有两个可逆变换

$$x=Cy、x=Pz$$

使

$$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+....+k_r{y}_r^2(k_i\ne 0)$$

和

$$f={\lambda }_1{z}_1^2+{\lambda }_2{z}_2^2+...+{\lambda }_r{z}_r^2({\lambda }_i\ne 0)$$

则$k_1,...,k_r$中正数的个数与${\lambda }_1,....,{\lambda }_r$中正数的个数相等

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性系数，负系数的个数称为负惯性系数

若二次型$f$的正惯性系数指数为$p$，秩为$r$，则$f$的规范形可确定为

$$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2$$

定义10

设有二次型$f(x)=x^{T}Ax$

• 如果对任何$x\ne 0$，都有$f(x)>0$，则称$f$为正定二次型，并称对称阵A是正定的
• 如果对任何$x\ne 0$，都有$f(x)<0$，则称$f$为负定二次型，并称对称阵$A$是负定的

定理10

$n$元二次型$f=x^{T}Ax$为正定的充分必要条件是：它的标准型的$n$个系数全为正，即它的规范形的$n$个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于$n$

推论

对称阵$A$为正定的充分必要条件是：$A$的特征值全为正

定理11：赫尔维茨定理

对称阵$A$为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即

对称正$A$为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

举例

例17

判定二次型$f=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz$的正定性

解答：

二次型$f$的矩阵$A$为

A = [ − 5 2 2 2 − 6 0 2 0 − 4 ] A=

一阶主子式

$$|a_{11}|=-5<0$$

二阶主子式

∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = ∣ − 5 2 2 − 6 ∣ = 26 > 0

三阶主子式

∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ − 5 2 2 2 − 6 0 2 0 − 4 ∣ = − 80 < 0

发现一阶、三阶都为负，二阶为正

根据定理11：赫尔维茨定理，得到

$f$是负定二次型

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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