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2.3 逆矩阵

定义

对于n阶矩阵$A$，如果有一个n阶矩阵$B$，使得
$$AB=BA=E$$

说明矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵

记住

如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵一定是唯一的。

证：
​
假设 B、C均是A的逆矩阵，有

$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$

得出 B=C

所以
​
A的逆矩阵是唯一的。

写法

$A$的逆矩阵记作$A^{-1}$
​
若$AB=BA=E，则B=A^{-1}$

定理1

内容

若矩阵A可逆，那么$|A|\ne 0$

证明

因为 矩阵A可逆
​
那么一定有$A^{-1}$，使得

$A{A}^{-1}=E$

推出

$$\begin{gathered} |A{A}^{-1}|=|E| \\ ==>|A||A^{-1}|=|E|=1 \\ ==>|A|\ne 0 \end{gathered}$$

定理2

内容

若$|A|\ne 0$，则矩阵$A$可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$，其中$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵

证明

已知$A{A}^{\ast }=|A|E$ （|A|是一个常数）

因为$|A|\ne 0$

所以 $\frac{1}{|A|}A{A}^{\ast }=A\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=A(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })=E$

又因为 $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$

所以 $\frac{1}{|A|}A{A}^{\ast }=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }A=(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })A=E$

由

{ A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = E ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E

得知 矩阵A存在逆矩阵，

且$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$

证明完成！

推论​

若$AB=E（或BA=E$，则$B=A^{-1}$

证明：

因为$AB=E$

所以$|A||B|=|E|=1$

故$|A|\ne 0$，$A^{-1}$存在

$$B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}E=A^{-1}$$

证明完成！

运算规律

方阵的逆矩阵满足运算规律
​
（1） 若$A$可逆，则$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

证明：

因为$A$可逆

所以

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$$

这里令$B=A$,得到

$$B{A}^{-1}=A^{-1}B=E$$

推出

$$A^{-1}可逆$$

且

$$(A^{-1}{)}^{-1}=B=A$$

证明完成！

(2) 若$A$可逆，数$\lambda \ne 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$

证明：

因为$A$可逆

所以

$$AB=BA=E$$

对于$\lambda A$来说

一定存在$\frac{1}{\lambda }B$使得

$$(\lambda A)(\frac{1}{\lambda }B)=(\frac{1}{\lambda }B)(\lambda A)=E$$
所以

$\lambda A$ 也可逆

同时

$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }B=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$

(3) 若$A、B$为同阶矩阵且均可逆，则$AB$均可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
​
证明：

因为$A、B$为同阶矩阵且均可逆

所以

• ​$AC=CA=E(C=A^{-1})$
• ​$BD=DB=E(D=B^{-1})$

因为

• ​$(AB)(DC)=A(BD)C=AEC=AC=E$
• ​$(DC)(AB)=D(CA)B=DEB=DB=E$

所以

$AB$可逆，且$(AB{)}^{-1}=DC=B^{-1}{A}^{-1}$

证明完成！

(4) 若$A$可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

证明：

因为$A$可逆

则

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$

进行转置，得

$(A{A}^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E^T$

由$(AB{)}^T=B^T{A}^T$ 得

$$(A^{-1}{)}^T{A}^T=A^T(A^{-1}{)}^T=E^T=E$$

所以

$A^T$可逆

且

$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$$

证明完成！

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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