Qz学算法-数据结构篇(表达式、递归)
【摘要】 前缀、中缀、后缀表达式->(逆波兰表达式)1.前缀表达式(波兰表达式)前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前举例说明：(3+4)×5-6对应的前缀表达式就是-×+3456前缀表达式的计算机求值从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素和次顶元素），并将结果入栈：重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出...
前缀、中缀、后缀表达式->(逆波兰表达式)
1.前缀表达式(波兰表达式)
- 前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前
- 举例说明：(3+4)×5-6对应的前缀表达式就是-×+3456
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素和次顶元素），并将结果入栈：重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如：(3+4)×5-6对应的前缀表达式就是**-×+3456，针对前缀表达式求值步骤如下：
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素)，计算出3+4的值，得7再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
2.中缀表达式
- 中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6
- 中缀表达式的求值是我们人最熟悉的，但是对计算机来说却不好操作，因此，在计算结果时，往往会将中缀表达式转成其它表达式来操作(一般转成后缀表达式)
3.后缀表达式
- 后缀表达式又称逆波兰表达式，与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后
- 中举例说明：(3+4)×5-6对应的后缀表达式就是34+5×6-
- 再比如
| 正常的表达式 |
逆波兰表达式 |
| a+b |
a b + |
| a+(b-c) |
a b c - + |
| a+(b-c)*d |
a b c - d * + |
| a+d*(b-c) |
a d b c - * + |
| a=1+3 |
a 1 3 + = |
后缀表达式的计算机求值
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素和栈顶元素），并将结果入栈：重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如：(3+4)×5-6对应的后缀表达式就是34+5×6-，针对后缀表达式求值步骤如下：
- 从左至右扫描，将3和4压入堆栈：
- 遇到+运算符，因此弹出4和3(4为栈顶元素，3为次顶元素)，计算出3+4的值，得7，再将7入栈：
- 将5入栈：
- 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈：
- 将6入栈：
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
逆波兰计算器
输入一个逆波兰表达式，使用栈(Stack),计算其结果
支持小括号和多位数整数，因为这里我们主要讲的是数据结构，因此计算器进行简化，只支持对整数的计算。
思路分析
代码完成
public class PolandNotation {
public static void main(String[] args) {
//先定义一个逆波兰表达式
//(3+4)*5-6 => 3 4 +5 * 6 -
//说明为了方便，逆波兰表达式的数字和符号使用空格隔开
String suffixExpression = "3 4 + 5 * 6 -";
//思路
//1.先将"3 4 +5 * 6 -" => 放到ArrayList中
//2.将ArrayList 传递给一个方法,遍历ArrayList配合栈完成计算
List<String> list = getListString(suffixExpression);
int res = calculate(list);
System.out.println("计算结果是="+res);
}
//将一个逆波兰表达式，依次将数据和运算符放入到ArrayList中
public static List<String> getListString(String suffixExpression) {
//将suffixExpression分割
String[] split = suffixExpression.split(" ");
List<String> list = new ArrayList<String>();
for (String ele : split) {
list.add(ele);
}
return list;
}
//完成对逆波兰表达式的运算
/**
* 1. 从左至右扫描，将3和4压入堆栈：
* 2. 遇到+运算符，因此弹出4和3(4为栈顶元素，3为次顶元素)，计算出3+4的值，得7，再将7入栈：
* 3. 将5入栈：
* 4. 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈：
* 5. 将6入栈：
* 6. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
*/
public static int calculate(List<String> ls) {
//创建给栈,只需要一个栈即可
Stack<String> stack = new Stack<>();
//遍历 ls
for (String item : ls) {
//这里使用正则表达式来取出数
if (item.matches("\d+")) {//匹配多位数
//入栈
stack.push(item);
} else {
//pop出两个数,并运算,在入栈
int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
int res = 0;
if (item.equals("+")) {
res = num1 + num2;
} else if (item.equals("-")) {
res = num1 - num2;
} else if (item.equals("*")) {
res = num1 * num2;
} else if (item.equals("/")) {
res = num1 / num2;
}else {
throw new RuntimeException("运算符有问题");
}
//把res 入栈
stack.push(""+res);
}
}
///最后留在stack的数据是运算结构
return Integer.parseInt(stack.pop());
}
}4.中缀转后缀表达式
大家看到，后缀表达式适合计算式进行运算，但是人却不太容易写出来，尤其是表达式很长的情况下，因此在开发中，我们需要将中缀表达式转成后缀表达式。
操作步骤
- 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2;
- 从左至右扫描中缀表达式：
- 遇到操作数时，将其压s2:
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
- 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“("，则直接将此运算符入栈：
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1:
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是左括号"()"，则直接压入s1
- 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2,直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
- 重复步骤2至5，直到表达式的最右边
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式
举例说明
将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下
| 扫描到得元素 |
s2(栈底->栈顶) |
s1(栈底->栈顶) |
说明 |
| 1 |
1 |
空 |
数字,直接入栈 |
| + |
1 |
+ |
s1为空，运算符直接入栈 |
| ( |
1 |
+ ( |
左括号，直接入栈 |
| ( |
1 |
+ ( ( |
同上 |
| 2 |
1 2 |
+ ( ( |
数字 |
| + |
1 2 |
+ ( ( + |
s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 |
1 2 3 |
+ ( ( + |
数字 |
| ) |
1 2 3 + |
+ ( |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| * |
1 2 3 + |
+ ( * |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| 4 |
1 2 3 + 4 |
+ ( * |
数字 |
| ) |
1 2 3 + 4 * |
+ |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - |
1 2 3 + 4 * + |
- |
-与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 |
1 2 3 + 4 * + 5 |
- |
数字 |
| 到达最右端 |
1 2 3 + 4 * + 5 - |
空 |
s1中剩余的运算符 |
因此结果为:
" 1 2 3 + 4 * + 5 -"
代码实现
public class PolandNotation {
public static void main(String[] args) {
//完成将一个中缀表达式转成后缀表达式的功能
//说明
//1. 1+((2+3)×4)-5 => " 1 2 3 + 4 * + 5 -"
//2.因为直接对 str 进行操作 不方便 因此先将1+((2+3)×4)-5 => 中缀表达式对应得List
// 即"1+((2+3)×4)-5" = >ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),×,4,),-,5]
//3.将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
// 即ArrayList [1, +, (, (, 2, +, 3, ), ×, 4, ), -, 5] => [1, 2, 3, + 4, *, +, 5, -]
String expression = "1+((2+3)*4)-5";
List<String> infixExpression = toInfixExpressionList(expression);
System.out.println("中缀表达式对应的List="+infixExpression);
List<String> suffixExpression = parseSuffixExpressionList(infixExpression);
System.out.println("后缀表达式对应的List="+suffixExpression);
//先定义一个逆波兰表达式
//(3+4)*5-6 => 3 4 +5 * 6 -
//说明为了方便，逆波兰表达式的数字和符号使用空格隔开
//String suffixExpression = "3 4 + 5 * 6 -";
//思路
//1.先将"3 4 +5 * 6 -" => 放到ArrayList中
//2.将ArrayList 传递给一个方法,遍历ArrayList配合栈完成计算
//List<String> list = getListString(suffixExpression);
int res = calculate(suffixExpression);
System.out.println("计算结果是=" + res);
}
// 即ArrayList [1, +, (, (, 2, +, 3, ), ×, 4, ), -, 5] => [1, 2, 3, + 4, *, +, 5, -]
//方法: 中缀表达式转成后缀表达式的
public static List<String> parseSuffixExpressionList(List<String> ls) {
//定义两个栈
Stack<String> s1 = new Stack<>();//符号栈
//说明：因为s2这个栈，在整个转换过程中，没有pop操作，而且后面我们还需要逆序输出
//因此比较麻烦，这里我们就不用Stack<String>直接使用List<String>s2
//Stack<String> s2 = new Stack<>();//存储中间结果得栈s2
List<String> s2 = new ArrayList<>();//存储中间结果得栈s2
//遍历ls
for (String item : ls) {
//如果是一个数,加入到s2
if (item.matches("\d+")) {
s2.add(item);
} else if (item.equals("(")) {
s1.push(item);
} else if (item.equals(")")) {
//如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2,直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
while (!s1.peek().equals("(")) {
s2.add(s1.pop());
}
s1.pop();//将 ( 弹出s1栈,消除小括号
} else {
//当item的优先级小于等于s1栈顶运算符，将s1栈顶的运算符弹出并加入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较
//问题:缺少一个比较优先级高低的办法
while (s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek())>=Operation.getValue(item)){
s2.add(s1.pop());
}
//还需要将item压入栈
s1.push(item);
}
}
//将s1中剩余的运算符依次弹出并加入s2
while(s1.size() != 0){
s2.add(s1.pop());
}
return s2; //注意因为是存放到List,因此按顺序输出就是对应的后缀表达式对应的Lst
}
//方法:将中缀表达式转成对应得List
public static List<String> toInfixExpressionList(String s) {
//定义一个List,存放中缀表达式 对应得内容
List<String> ls = new ArrayList<String>();
int i = 0;//这个是一个指针,用于遍历 中缀表达式字符串
String str; //对多位数得拼接
char c;//没遍历到一个字符,就放入到c
do {
//如果c是一个非数字,我们就需要加入到ls
if ((c = s.charAt(i)) < 48 || (c = s.charAt(i)) > 57) {
ls.add("" + c);
i++;//i需要后移
} else { //如果是一个树,需要考虑多位数
str = "";//先将str 置成""
while (i < s.length() && (c = s.charAt(i)) >= 48 && (c = s.charAt(i)) <= 57) {
str += c;//拼接
i++;
}
ls.add(str);
}
} while (i < s.length());
return ls;
}
//将一个逆波兰表达式，依次将数据和运算符放入到ArrayList中
public static List<String> getListString(String suffixExpression) {
//将suffixExpression分割
String[] split = suffixExpression.split(" ");
List<String> list = new ArrayList<String>();
for (String ele : split) {
list.add(ele);
}
return list;
}
//完成对逆波兰表达式的运算
/**
* 1. 从左至右扫描，将3和4压入堆栈：
* 2. 遇到+运算符，因此弹出4和3(4为栈顶元素，3为次顶元素)，计算出3+4的值，得7，再将7入栈：
* 3. 将5入栈：
* 4. 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈：
* 5. 将6入栈：
* 6. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
*/
public static int calculate(List<String> ls) {
//创建给栈,只需要一个栈即可
Stack<String> stack = new Stack<>();
//遍历 ls
for (String item : ls) {
//这里使用正则表达式来取出数
if (item.matches("\d+")) {//匹配多位数
//入栈
stack.push(item);
} else {
//pop出两个数,并运算,在入栈
int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
int res = 0;
if (item.equals("+")) {
res = num1 + num2;
} else if (item.equals("-")) {
res = num1 - num2;
} else if (item.equals("*")) {
res = num1 * num2;
} else if (item.equals("/")) {
res = num1 / num2;
} else {
throw new RuntimeException("运算符有问题");
}
//把res 入栈
stack.push("" + res);
}
}
///最后留在stack的数据是运算结构
return Integer.parseInt(stack.pop());
}
}
//编写一个类Operation 可以返回一个运算符 对应的优先级
class Operation {
private static int ADD = 1;
private static int SUB = 1;
private static int MUL = 2;
private static int DIV = 2;
//写一个方法,返回对应的优先级数字
public static int getValue(String operation){
int result = 0;
switch (operation){
case "+":
result = ADD;
break;
case "-":
result = SUB;
break;
case "*":
result = MUL;
break;
case "/":
result = DIV;
break;
default:
System.out.println("不存在该运算符");
break;
}
return result;
}
}递归
需求引入
看个实际应用场景，迷宫问题（回溯），递归(Recursion)
1.递归的概念
简单的说：递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。
2.递归调用机制
- 打印问题
public static void test ( int n){
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
System.out.println("n=" + n);
}- 阶乘问题
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n;
/*
n=3
factorial(3-1)*3 =>factorial(2-1)*2*3 =>factorial(1)*2*3
*/
}
}
3.递归能解决什么样的问题
- 各种数学问题如：8皇后问题，汉诺塔，阶乘问题，迷宫问题，球和篮子的问题(google编程大赛)
- 各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等
- 将用栈解决的问题->第归代码比较简洁
4.递归需要遵守的重要规则
- 执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间（栈空间）
- 方法的局部变量是独立的，不会相互影响，比如n变量
- 如果方法中使用的是引用类型变量（比如数组），就会共享该引用类型的数据
- 归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归，出现StackOverflowError,死归了：)
- 当一个方法执行完毕，或者遇到return.,就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕。
迷宫回溯问题
- 小球得到的路径，和程序员设置的找路策略有关即：找路的上下左右的顺序相关
- 再得到小球路径时，可以先使用（下右上左），再改成（上右下左)，看看路径是不是有变化
- 测试回溯现象
- 思考：如何求出最短路径？
代码实现
public class Maze {
public static void main(String[] args) {
//先创建一个二维数组,模拟迷宫
//地图
int[][] map = new int[8][7];
//使用1表示墙
//上下全部置为1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
//左右全部为1
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
//设置挡板
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
//输出地图
System.out.println("地图的情况");
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
//使用递归回溯给小球找路
setWay1(map,1,1);
//输出新的地图,小球走过,并标识过的地图
System.out.println("小球走过,并标识过的地图");
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
//使用递归回溯来给小球找路
/*
1.map表示地图
2.i,j表示从地图的哪个位置开始出发（1,1)
3.如果小球能到map[6][5]位置，则说明通路找到，
4.约定：当map[i][j]为0表示该点没有走过当为1表示墙；2表示通路可以走；3表示该点已经走过，但是走不通
5.在走迷宫时,需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 ,如果该点走不通在回溯
*/
/**
* @param map 地图
* @param i 从哪个位置开始找
* @param j
* @return 如果找到通路，就返回true,否则返回false
*/
public static boolean setWay1(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) { //同路已经找到
return true;
} else {
if (map[i][j] ==0){ //如果当前的点还没有走过
//按照策略下->右->上->左
map[i][j]=2;//假定该点是可以走通
if (setWay(map,i+1,j)){ //向下走
return true;
}else if (setWay1(map,i,j+1)) { //向右走
return true;
}else if (setWay1(map,i-1,j)) { //向上走
return true;
}else if(setWay1(map,i,j-1)){ //向左走
return true;
}else{
//说明改点走不通,是死路
map[i][j]=3;
return false;
}
}else{ //如果map[i][j] != 0,可能是1,2,3
return false;
}
}
}
}关于回溯
如果我在设置起点为1,1,而map[3][1] = 1; map[3][2] = 1; map[4][1] = 1;map[4][2] = 1;,这样只有上下两个格子可以移动,这时运行完就会把走过的路径设置为3
最短路径
//修改找路的策略 改成上->右->下->左
public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) { //同路已经找到
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) { //如果当前的点还没有走过
//按照策略下->右->上->左
map[i][j] = 2;//假定该点是可以走通
if (setWay2(map, i - 1, j)) { //向上走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j + 1)) { //向右走
return true;
} else if (setWay2(map, i + 1, j)) { //向下走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j - 1)) { //向左走
return true;
} else {
//说明改点走不通,是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else { //如果map[i][j] != 0,可能是1,2,3
return false;
}
}
}最简单的方法就是对上下左右的找路策略进行穷举，然后比较哪个最短即可
八皇后问题
需求引入
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯-贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少 种摆法。
思路分析
- 第一个皇后先放第一行第一列
- 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK,如果不0K,继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适
- 继续第三个皇后，还是第一列、第二列直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
- 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到
- 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行1,2,3的步骤
说明
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题.arr[8]={0,4,7,5,2,6,1,3} //对应arr下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i]=val,val表示第i+1个皇后，放在第i+1行的第val+1列
代码实现
public class Queue8 {
//定义一个max表示共有多少个皇后
int max =8;
//定义数组array,保存皇后防止位置的结果,比如 arr[8]={0,4,7,5,2,6,1,3}
int [] array = new int [max];
static int count = 0;
public static void main(String[] args) {
Queue8 queue8 = new Queue8();
queue8.check(0);
System.out.printf("一共有%d解法",count);
}
//编写一个方法,放置第n个皇后
//特别注意：check是每一次递归时，进入到check中都有for(int i=0;i<max;i++)
private void check(int n){
if (n==max){ //n=8,其实8个皇后就已然放好
print();
return;
}
//依次放入皇后,并判断是否重复
for (int i = 0; i < max; i++) {
//先把当前这个皇后 n 放到该行的第1列
array[n] = i;
//判断当防止第n个皇后i列时,是否冲突
if (judge(n)){ //不冲突
//接着放n+1个皇后,即开始递归
check(n+1);
}
//如果冲突,就继续执行array[n] = i即将第n个皇后放置在本行的后移的一个位置
}
}
//查看当我们放置第个皇后，就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
/**
*
* @param n 表示第n个皇后
* @return
*/
private boolean judge(int n){
for (int i = 0; i < n; i++) {
//说明
//1.array[i]==array[n]表示判断第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
//2.Math.abs(n-1)==Math.abs(array[n]-array[i])表示判断第个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
if (array[i]==array[n]||Math.abs(i-n)==Math.abs(array[i]-array[n])){
return false;
}
}
return true;
}
//写一个方法,可以将皇后摆放的位置输出
private void print(){
count++;
for (int i = 0; i < array.length;i++) {
System.out.print(array[i]+" ");
}
System.out.println();
}
}
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