凸优化理论基础1--仿射集

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秃头小苏 发表于 2022/05/22 10:53:22 2022/05/22
【摘要】  🍊作者简介:秃头小苏,致力于用最通俗的语言描述问题🍊往期回顾:基于pytorch搭建VGGNet神经网络用于花类识别    基于pytorch搭建AlexNet神经网络用于花类识别🍊近期目标:拥有5000粉丝🍊支持小苏:点赞👍🏼、收藏⭐、留言📩@[toc] 凸优化理论基础1——仿射集  最近上的数学课着实让人头大,课上听不懂,只能下课慢慢的消化知识🥗🥗🥗凸优化可...

 

🍊作者简介:秃头小苏,致力于用最通俗的语言描述问题

🍊往期回顾:基于pytorch搭建VGGNet神经网络用于花类识别    基于pytorch搭建AlexNet神经网络用于花类识别

🍊近期目标:拥有5000粉丝
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凸优化理论基础1——仿射集

  最近上的数学课着实让人头大,课上听不懂,只能下课慢慢的消化知识🥗🥗🥗凸优化可以说是直接当头一棒,第一节就完全跟不上节奏,甚至于一些基本的概念都理解不了,这样雪球越滚越大,这门课就算是荒废了🍋🍋🍋

  若是你和我有一样的尴尬处境,那么这篇文章或许能帮助到你。这一节我打算从一些基础的概念讲起,只有先对这些概率了如指掌,后面才能学的自在✈✈✈现在就让我们一起来看看叭🎨🎨🎨

 

直线和线段

  大家先别喷⛲⛲⛲有人想,我堂堂一位受过高等教育的大学生,你竟然给我讲直线和线段,这不是侮辱还是侮辱啊😭😭😭我们之前学过的直线大多是形如y=kx+b的形式,那么这里我们定义直线的表达式如下:

  设 x 1 x 2 {{\rm{x}}_1} \ne {x_2} R n {R^n} 空间中的两个点,那么具有下列形式的点

y = θ x 1 + ( 1 θ ) x 2 , θ R y = \theta {x_1} + (1 - \theta ){x_2},\theta \in R

会组成一条穿越 x 1 x_1 x 2 x_2 的直线。乍一看这个公式我是懵逼的,这也是直线的方程!!!?这样我们将这个式子换一种表达方式,即把括号拆开再重新组合,如下:

y = x 2 + θ ( x 1 x 2 ) , θ R y = {x_2} + \theta ({x_1} - {x_2}),\theta \in R

  那么上式该怎么解释呢? θ ( x 1 x 2 ) \theta(x_1-x_2) 表示方向从 x 2 x_2 指向 x 1 x_1 ,大小由 θ \theta 控制,则y表示基点 x 2 x_2 和方向 x 1 x 2 x_1-x_2 乘以参数 θ \theta 的和。 θ = 0 \theta=0 时,y在 x 2 x_2 点处;当 θ = 1 \theta=1 时,y在 x 1 x_1 点处。 θ \theta 取不同的值,y对应于不同的值,这样y就可以取遍 x 1 x 2 x_1 、x_2 所在直线上的所有点,即y表示过 x 1 x 2 x_1 、x_2 两点的直线。这里给出图示方便大家理解:

image-20220430161657797

图片来源于书籍凸优化中文版
 

  既然我们都已经知道了直线的表达方式,那么线段就很容易了,我们只要限定 θ [ 0 , 1 ] \theta \in [0,1] 即可将y限制在 x 1 x 2 x_1和x_2 之间,也即形成了线段,其公式如下:

y = θ x 1 + ( 1 θ ) x 2 , θ [ 0 , 1 ] y = \theta {x_1} + (1 - \theta ){x_2},\theta \in [0,1]

 
 

仿射集

  • 定义

  先来给出仿射集的定义:==如果通过集合 C R n C\in R^n 中任意两个不同点的直线仍然在集合C中,那么称集合C是仿射的。== 由于我们前面已经给出了直线的表达式,因此这里 C R n C\in R^n 是仿射集可以等价为 \Leftrightarrow ==对任意的 x 1 , x 2 C x_1,x_2 \in C θ R \theta \in R θ x 1 + ( 1 θ ) x 2 C \theta {x_1} + (1 - \theta ){x_2} \in C 。== 换而言之,C包含了C中任意两点的系数之和为1的线性组合。

  • 仿射集例子

  直线、空集、点、全空间。【个人感觉只要直线会有一点研究价值,按照定义来说空集和点是仿射集我觉得是有点牵强的🌸🌸🌸】

 
 

仿射组合

  上文谈到仿射集的概率,这是针对两个点的,其实这个概念可以推广到多个点上。即如果 θ 1 + + θ k = 1 \theta_1 + \cdots +\theta_k=1 ,我们即称 θ 1 x 1 + + θ k x k \theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k 形式的点为 x 1 , , x k x_1 , \cdots ,x_k 的仿射组合。

​  我们通过仿射集的定义可以得出结论:==一个仿射集包含任意点的仿射组合,即若C是一个仿射集合, x 1 , , x k C x_1 , \cdots ,x_k \in C ,且 θ 1 + + θ k = 1 \theta_1 + \cdots +\theta_k=1 ,则 θ 1 x 1 + + θ k x k \theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k 仍然在C中。==

  这里我们做一个简要的证明,证明含3个点的仿射组合仍然在C中,证明如下:

image-20220430183654308

​  证明了仿射集C中的三个点的仿射组合仍然在C中,那么就可进一步证明仿射集中包含任意点的仿射组合仍在仿射集中。🍅🍅🍅

 
 

仿射集的子空间

  定义:若C是仿射集并且 x 0 C x_0 \in C ,则集合

V = C x 0 = { x x 0 x C } V=C-x_0=\{x-x_0|x \in C \}

定义为仿射集C的一个子空间。

​  这里还给出一个结论,==即仿射集C的子空间V也是仿射的==,证明如下:

image-20220430191752474

​  此外,仿射集的子空间关于加法和数乘是封闭的,即指子空间V中的点经过加法和数乘运算后仍然属于子空间V,证明如下:

image-20220430193059716

子空间相当于是基 x 0 x_0 做了一个平移,使之必过原点,子空间是仿射集。具体可参考视频:https://www.bilibili.com/video/BV1Xi4y1b7eF/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.-1

讲了这么多,我们先来看一个例题进行巩固,如下:

image-20220430193605185

 
 

仿射包

  这个我不想再给出定义了,估计大家也都看烦了,那什么是仿射包呢?其实很容易理解,==仿射包就是包含集和C的最小的仿射集。== 这里我举几个例子大家可能就明白了🍜🍜🍜

  • 集合C为2点,那么仿射包就是过这两点的直线🌱
  • 集合C为3点,那么仿射包就是包括这三点的全平面🌱
  • 集合C为4点,那么仿射包就是包括这四点的全空间🌱
  • 仿射集的仿射包是它自身🌱

 
 
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