学习笔记|欧氏空间与向量空间中留下了一个问题，即，什么是域？
让我们从头梳理。

1. 代数的演进

1.1. 算术

算术是数学中最古老、最基础、最初等的部分，是研究数、数的性质、数的运算（含四则运算、平方根、对数等等）的数学。

1.2. 初等代数

初等代数是算法的推广与发展，是以解方程为中心的数学。
高等代数与初等代数是一个东西，但更加系统。

1.3. 抽象代数

抽象代数是研究代数结构的科学。通俗地讲，一个代数结构就是一个集合加一套运算规则。主要的代数结构即为群、环、域和向量空间。
从抽象代数的视角来看，初等代数只考虑了实数和复数代数结构。

主要概念：

(1)集合

集合是初等代数中数的概念的延伸，是指具有某种特定性质的事物的总体，可以用S表示。其中的个体称为元素，可以用s表示。

(2)二元运算

二元运算是初等代数中四则运算概念的延伸，将元素a,b∈S映射为元素f(a,b)，可以用f表示。
若对∀a,b∈S，有f(a,b)∈S，则二元运算f在集合S上具有封闭性。

(3)单位元

单位元是1的抽象，它是集合中的特殊元素。若∃e∈S，对∀a∈S，有f(a,e)=f(e,a)=a，则称元素e为集合S的二元运算f单位元。

(4)零元

零元是0的抽象，它也是集合中的特殊元素。若∃0∈S，对∀a∈S，有f(a,0)=f(0,a)=0，则称元素0为集合S的二元运算f零元。

(4)逆元素

逆元素是负数概念的延伸。∀a,b∈S，若f(a,b)=e，e为S的f单位元，则称a,b互为对方的逆元素。

(5)结合律

∀a,b,c∈S，若f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))，则称f具有结合律。

(6)交换律

∀a,b∈S，若f(a,b)=f(b,a)，则称f具有交换律。

1.4. 线性代数

线性代数是以向量空间和线性变换为研究对象的抽象代数。

2. 群

2.1. 原群

定义集合S及其上的二元运算f，若f在S上具有封闭性，则V=(S,f)称为原群。

2.2. 半群

若原群V=(S,f)上的二元运算f满足结合律，则称V为半群。

2.3. 幺半群

若半群V=(S,f)上有一个单位元，则称V为幺半群。

2.4. 群

若幺半群V=(S,f)，对∀a∈S，存在逆元，则称V为群。

2.5. 阿贝尔群

若群V=(S,f)满足交换律，则称V为阿贝尔群，也叫交换群。

3. 环

3.1. 环

若V=(S,f)为交换群，V=(S,g)为幺半群，且对∀a,b,c∈S，有

1. g(a,f(b,c))=f(g(a,b),g(a,c))
2. g(f(b,c),a)=f(g(b,a),g(c,a))
   (S,f,g)称为环。

3.2. 交换环

若环(S,f,g)中，二元运算g满足交换律，则称(S,f,g)为交换环。

3.3. 整环

若环(S,f,g)中g有单位元且S无零元，则称(S,f,g)为整环。

4. 域

若整环(S,f,g)，对∀a∈S，二元运算g存在逆元，则称(S,f,g)为域。
(R,+,*)为实数域，一般记为R。

参考文献：

【1】http://sparkandshine.net/algebraic-structure-primer-group-ring-field-vector-space/#1
【2】https://blog.csdn.net/cw397265362/article/details/116269398 【3】https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%BA%E5%8D%8A%E7%BE%A4/9813166?fr=aladdin 【4】https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B4%E7%8E%AF/10482730?fr=aladdin