何谓欧氏空间？

百度百科对欧氏空间进行了详细的介绍，但更像概念的堆砌，大堆的专业名词让我这过气的数学系本科生不明觉厉，而对概念本质的诠释又比较晦涩。相比而言，我觉得如下表述更加清晰明了。

定义1 设V是实数域（可参见学习笔记|实数域）上一个向量空间，g为V上的二元实函数（称为内积），若∀ξ,η∈V，有g(ξ,η)∈R与之对应，且满意下列条件：
(1) g(ξ,η)=g(η,ξ)
(2)g(ξ+η,ζ)=g(ξ,ζ)+g(η,ζ)
(3)g(aξ,η)=ag(ξ,η)
(4)当ξ≠0时，g(ξ,ξ)>0
其中，&zeta∈V，a∈R，则称V为（对于g）的欧氏空间。

那么，什么是向量空间？

设V为非空集，为一个域。在V上定义了加法和标量乘法。
加法：映射将∀u,v;∈V对应到u+v∈V，这个映射称为V上的加法，记为u+v
标量乘法：映射将∀k∈,u∈V对应到ku∈V，这个映射称为集合V和域上的标量乘法

定义2 若集合V带有加法和标量乘法且满足以下性质：
(1)交换性：∀u,v∈V，都有u+v=v+u
(2)结合性：∀a,b∈，u,v,w∈V，都有(u+v)+w=u+(v+w)和a(bu)=(ab)u
(3)加法单位元存在：∃0∈V，S.T. 对∀u∈V，都有u+0=u
(4)加法逆元存在：∀u∈V, ∃v∈V, S.T.u+v=0
(5)乘法单位元存在：∃1∈V, S.T. ∀u∈V, 都有1u=u
(6)分配性：∀a,b∈, u,v∈V, 都有(a+b)u=au+bu和a(u+v)=au+av
则称V为上的向量空间，也称为线性空间。中的元素称为标量。=时，V称为实线性空间。

那么，什么又是域？时间问题，改天再来复习。

参考文献：

【1】https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%A9%BA%E9%97%B4/8281167?fromtitle=%E6%AC%A7%E6%B0%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4&fromid=8282013&fr=aladdin
【2】https://www.zhihu.com/question/27903807
【3】https://baike.baidu.com/item/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4/5936597?fr=aladdin
【4】https://zhuanlan.zhihu.com/p/64434863