1. 定义

实数域是实数所在的有理集合，具有连续性、完备性、有序性等性质。

2. 背景

毕达哥拉斯等希腊数学家于公元前500年左右意识到了无理数的存在，印度人于公元600年左右发明了负数，德国数学家热康托尔于1871年最早全面地给出了实数的定义。
实数是一种能和数轴上的点一一对应的数，分为有理数和无理数两类，或者分为代数数和超越数两类，或者分为正数、负数和零。实数集通常用字母R表示，用R_n表示n维实数空间。

3. 特性

3.1. 连续性

3.2. 有序性

3.3. 完备性

4. 基本定理

实数域存在7大定理，它们能够相互证明。

4.1. 戴德金连续性公理

4.1.1. 数据表述：设A，B是R的两上子集，满足A∪B=R，A∩B=∅，A≠∅，B≠∅，且对任何a∈A，b∈B，都有a<b，则称(A,B)为R的一个分割，对于R的任何分割，

4.1.2. 证明：

A有上界，且A⊂R，∴A有上确界，令其为M

4.2. 确界存在原理

4.2.1. 表述：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界

4.2.2. 概念补充：

4.2.2.1. 有界：

对于R中的一个数集S，若存在数M（或L），使得对一切x∈S，都有x≤M（或者x≥L），则称S为有上界（或者有下界）的数集，M或者L称为S的一个上界（或者下界）。同时具有上下界则称数集有界。

4.2.2.2. 确界：

最小上界称为上确界，最大下界称为下确界，记为supS或infS。

4.2.3. 证明：

4.3. 单调有界原理

4.3.1. 表述：单调递增且有上界的数列是收敛的，单调递减且有下界的数列是收敛的

4.3.2. 概念补充：

4.3.2.1. 数列收敛：

4.3.3. 证明：

4.4. 区间套定理

4.4.2. 概念补充：

4.4.4.1. 区间套

4.4.3. 证明：

4.5. 聚点定理

4.5.1. 表述：有界无穷点集必有聚点

4.5.2. 补充概念：

4.5.2.1. 聚点：

4.5.3. 证明：

4.6. 有限覆盖定理

4.6.1. 表述：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]

4.6.2. 概念补充：

4.6.2.1. 覆盖：

设有任意个区间（可以是开区间，也可以是闭区间，还可以是半开半闭区间；可以是有限个区间，也可以是无限个区间），它们构成了一个集合H（集合H的所有元素均为区间）。如果对于一个数集S，S中的任意一个元素都属于H中的至少一个区间，那么称H是S的一个覆盖。
它等价于，若S包含于任意个区间所构成的并集，则称这些区间构成的集合H是S的一个覆盖。

4.6.3. 证明：

4.7. 柯西准则

4.7.2. 概念补充:

4.7.2.1. 柯西序列：

4.7.3. 证明：

（1）必要性

（2）充分性

参考文献：

[1]https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0%E5%9F%9F/8281537 [2]白瑞蒲, 安宏伟, BAIRui-pu,等. 实数域R上n+1维n-Lie代数的内导子代数[J]. 河北大学学报(自然科学版), 2008, 28(1):4-6. [3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/153012626 [4]https://wenku.baidu.com/view/238dc7ae25c52cc58ad6bebd.html [5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/267146847 [6]https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A6%86%E7%9B%96%E5%AE%9A%E7%90%86/7821484?fr=aladdin [7]https://baike.baidu.com/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%87%86%E5%88%99/6690228?fr=aladdin