一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
  于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
  这一章的主要内容将的是浮点数的精度问题。

二、人物简介

• 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  
• 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
  

三、精度问题的原因

• 对于十进制的数转换成二进制时，整数部分和小数部分转换方式是不同的。

1、整数转二进制

• 对于整数而言，采用的是 “展除法”，即不断的除以 2，取余数。
• 举例， $(11)_{10}$ 通过不断除2，取余数，得到的余数序列为 $1 \ 1 \ 0 \ 1$，然后逆序一下， $(1011)_2$ 就是它的二进制表示了。
• 所以对于一个有限位数的整数，一定能够转换成有限位数的二进制。

2、小数转二进制

• 而对于小数而言，采用的是 “乘二取整法”，即 不断乘以 2，取整数。一个有限位数的小数不一定能够转换成有限位数的二进制。只有末尾是 5 的小数才有可能转换成有限位数的二进制。
• 在之前的章节中，我们知道float和double的尾数部分是有限的，可定无法容纳无限的二进制数，即使能够转换成有限的位数，也可能会超出给定的尾数部分的长度，这时候就必须进行舍弃。这时候，由于和原数并不是完全相等，就出现了精度问题。

3、四舍五入

• 对与float类型，是一个四字节的浮点数，也就是32个比特位，具体内存存储方式如下图所示：

• 而对于double类型，是一个八字节的浮点数，也就是64个比特位，具体内存存储方式如下图所示：

• 所以对于float的二进制表示，尾数23位，加上一位隐藏的1，总共24位，最后一位可能是精确数字，也可能是近似数字；而其余的 23 位都是精确数字。从二进制的角度看，这种浮点格式的小数，最多有 24 位有效数字，但是能保证的是 23 位；也就是说，整体的精度为 23 ~ 24 位。如果转换成十进制， $2^{24} = 16777216$，一共 8 位；也就是说，最多有 8 位有效数字（十进制），但是能保证的是 7 位，从而得出整体精度为 7 ~ 8 位。对于 double，同理可得，二进制形式的精度为 52 ~ 53 位，十进制形式的精度为 15 ~ 16 位。

四、IEEE 754 标准

• 浮点数除了 光天化日学C语言（24）- 浮点数的存储 讲到的存储方式以外，还遵循 IEEE 754 标准。
• IEEE 754 标准规定，当指数 $exponent$ 的所有位都为 1 时，不再作为 “正常” 的浮点数对待，而是作为特殊值处理。

1、负无穷大

• 如果此时尾数 $fraction$ 的二进制位都为 0，且符号 sign 为 1，则表示负无穷大；

#include <stdio.h>

int main() {
    int ninf = 0b11111111100000000000000000000000;
    printf("%f\n", *(float *)&ninf );
    return 0;
}

• 运行结果为：

-inf

2、正无穷大

• 如果此时尾数 $fraction$ 的二进制位都为 0，且符号 sign 为 0，则表示正无穷大。

#include <stdio.h>

int main() {
    int pinf = 0b01111111100000000000000000000000;
    printf("%f\n", *(float *)&pinf );
    return 0;
}

• 运行结果为：

inf

3、Not a Number

• 如果此时尾数 $fraction$ 的二进制位不全为 0，则表示 NaN (Not a Number)，也即这是一个无效的数字，或者该数字未经初始化。

#include <stdio.h>

int main() {
    int nan  = 0b11111111100000000000000000001010;
    printf("%f\n", *(float *)&nan );
    return 0;
}

• 运行结果如下，符合我们的预期：

nan

4、浮点数的规格化

• 当指数 $exponent$ 的所有二进制位都为 0 时，情况也比较特殊。对于 “正常” 的浮点数，尾数 $fraction$ 隐含的整数部分为 1，并且在读取浮点数时，内存中的指数 $exp$ 要减去中间值 $2^{n-1}-1$ 才能还原真实的指数 $exponent$。
• 然而，当指数 $exp$ 的所有二进制位都为 0 时，尾数隐含的整数部分变成了 0，并且用 1 减去中间值 $2^{n-1}-1$ 才能还原真实的指数 $exponent$。
• 为什么会有非规格化浮点数的出现呢？
• 来看这样一个例子！
• 在规格化浮点数中，浮点数的尾数不应当包含前导 0。如果全部用十进制表示，对于类似0.012的浮点数，规格化的表示应为1.2e-2。但对于某些过小的数，如1.2e-130，允许的指数位数不能满足指数的需要，可能就会在尾数前添加前导0，如将其表示为0.00012e-126。

总结如下：
  1）当指数 $exp$ 的所有二进制位都是 0 时，我们将这样的浮点数称为“非规格化浮点数”；
  2）当指数 $exp$ 的所有二进制位既不全为 0 也不全为 1 时，我们称之为“规格化浮点数”；
  3）当指数 exp 的所有二进制位都是 1 时，作为特殊值对待。
换言之，究竟是规格化浮点数，还是非规格化浮点数，还是特殊值，完全看指数 $exp$。

五、浮点数判定

1、精度定义

• 在 C++ 中， $1e-6$ 代表 $10^{-6}$，即 $0.000001$，是一个比较合适的精度值；

#define eps 1e-6

2、相等判定

• 介于浮点数的表示方式，不能用 ‘==’ 进行相等判定，必须将两数相减，取绝对值以后，根据结果是否小于某个精度来判定两者是否相等；

bool EQ(double a, double b) {   // EQual
	return fabs(a - b) < eps;
}

3、不相等判定

• ‘不相等’ 就是 ‘相等’ 的 ‘非’（取反）；

bool NEQ(double a, double b) {  // NotEQual
	return !EQ(a, b);
}

4、大于等于判定

• ‘大于等于’ 就是 ‘大于 或 等于’ 的意思，需要拆分成如下形式：

bool GET(double a, double b) {    // GreaterEqualThan
	return a > b || EQ(a, b);
}

5、小于等于判定

• ‘小于等于’ 就是 ‘小于 或 等于’ 的意思，需要拆分成如下形式：

bool SET(double a, double b) {   // SmallerEqualThan
	return a < b || EQ(a, b);
}

6、小于判定

• ‘小于’ 就是 ‘大于等于’ 的 ‘非’，需要拆分成如下形式：
• 注意：千万不能直接用 $a < b$；

bool ST(double a, double b) {   // SmallerThan
	return a < b && NEQ(a, b);
}

#加粗样式# 7、大于判定

• ‘大于’ 就是 ‘小于等于’ 的 ‘非’，需要拆分成如下形式：
• 注意：千万不能直接用 $a > b$；

bool GT(double a, double b) {   // GreaterThan
	return a > b && NEQ(a, b);
}

通过这一章，我们学会了：
  浮点数的精度及其判定；

• 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神！

课后习题

• 【第06题】给定两个点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，求两点间的距离 | 探秘浮点数精度问题

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