一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
  于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
  这一章的主要内容是整数的存储。

二、人物简介

• 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  
• 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
  

三、整数简介

1、符号位 和 数值位

• 我们知道 整数 分为 有符号整型 和 无符号整型。
• 有符号整型，程序需要区分 符号位 和 数值位。
• 对我们人类来说，很容易分辨；而对计算机而言，就要设计专门的电路，这就增加了硬件的复杂性，从而增加了计算的时间。

  所以，如果能够将 符号位 和 数值位 联合起来，让它们共同参与运算，不再加以区分，这样硬件电路就会变得更加简单。

2、整型的加减运算

• 其次，加法 和 减法 的引入，也将问题变得复杂。而由于减去一个数相当于加上这个数的相反数，例如：1 - 2等价于 1 + (-2)，1 - (-2)等价于1 + 2。

  所以，它们可以合并为一种运算，即只保留加法运算。

• 相反数是指 数值位 相同，符号位 不同的两个数，例如，1 和 -1 就是一对相反数。

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• 所以，我们需要做的就是设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路，就能同时实现加法和减法运算。首先让我们看几个计算机中的概念。
  

四、机器数和真值

1、机器数

• 我们知道计算机是内部由 0 和 1 组成的编码，无论是整数还是浮点数，都会涉及到负数，对于机器来说是不知道正负的，而 “正” 和 “负” 正好是两种对立的状态，所以规定用 “0” 表示 “正”，“1” 表示 “负”，这样符号就被数字化了，并且将它放在有效数字的前面，就成了有符号数；
• 把符号 “数字化” 的数称为 机器数；

2、真值

• 而带有 “+” 或者 “-” 的数称为 真值；
• 然而，当符号位和数值部分放在一起后，如何让它一起参与运算呢？那就要涉及到接下来要讲的计算机的各种编码了。

五、计算机编码

1、原码

1）定义

• 这里的原码并不是源码（源代码）的意思，而是机器数中最简单的一种表示形式；为了快速理解，这里只介绍 32位整数；

【定义】 符号位 为 0 代表 正数，符号位 为 1 代表 负数，数值位 为 真值的绝对值。

2）举例

• 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 原码 关系如下：

真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
原码：  00000000 00000000 00000000 00100101

• 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 原码 的关系如下：

真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
原码：  10000000 00000000 00000000 00100101

• 我们发现，对于负数的情况，原码 加上 真值（注意，这里真值为负数）后，二进制数正好等于 $1(\underbrace{0...0}_{31})_2$， 即 $2^{31}$，表示成公式如下：$$ [x]_原 + x = 2^{31}$$

3）公式

• 因此，我们可以通过移项，得出原码的十进制计算公式如下：

[x]_原 = \begin{cases} x & (0 \le x < 2^{n-1})\\ 2^{n-1} - x & (-2^{n-1} < x \le 0) \end{cases} $$   这里 $x$ 代表真值，而 $n$ 的取值是 $8、16、32、64$，我们通常说的整型```int```都是 32位 的，本文就以 $n = 32$ 的情况进行阐述；

---

2、反码

[^_^]:
* 为了解决负数加法的问题，引入了反码。

1）定义

【定义】 正数 的 反码 就是它的 原码；负数 的 反码 为 原码 的每一位的 0变1、1变0（即位运算中的按位取反）；

2）举例

• 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 反码 关系如下：

真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
反码：  00000000 00000000 00000000 00100101

• 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 反码 的关系如下：

真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
反码：  11111111 11111111 11111111 11011010

• 我们发现，对于负数的情况，反码 减去 真值（注意，这里真值为负数）后，负负得正，转换成二进制位相加正好等于 $(\underbrace{1...1}_{32})_2$， 即 $2^{32}-1$，表示成公式如下：$$ [x]_反 - x = 2^{32}-1$$

3）公式

• 因此，通过移项，我们可以得出反码的十进制计算公式如下：

$$[x]_反 = \begin{cases} x & (0 \le x < 2^{n-1})\\ 2^{n}-1 + x & (-2^{n-1} < x \le 0) \end{cases}$$

• 反码有个很难受的点，就是 $(0\underbrace{0...0}_{31})_2$ 和 $(1\underbrace{0...0}_{31})_2$ 都代表零，就是我们常说的 正零 和 负零。正如公式中看到的，当真值为 0 的时候，有两种情况，这就产生了二义性，而且浪费了一个整数表示形式。

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3、补码

[^_^]:
* 为了解决正负零的问题，引入了补码。

1）定义

【定义】 正数 的 补码 就是它的 原码；负数 的 补码 为 它的反码加一；

2）举例

• 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 补码 关系如下：

真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
补码：  00000000 00000000 00000000 00100101

• 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 反码 的关系如下：

真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
补码：  11111111 11111111 11111111 11011011

• 我们发现，对于负数的情况，反码 减去 真值（注意，这里真值为负数）后，负负得正，转换成二进制位相加正好等于 $1(\underbrace{0...0}_{32})_2$， 即 $2^{32}$，表示成公式如下：$$ [x]_补 - x = 2^{32}$$

3）公式

• 因此，通过移项，我们可以得出补码的十进制计算公式如下：

[x]_补 = \begin{cases} x & (0 \le x < 2^{n-1})\\ 2^{n} + x & (-2^{n-1} \le x < 0) \end{cases} $$   这里 $x$ 代表真值，而 $n$ 的取值是 $8、16、32、64$，我们通常说的整型```int```都是 32位 的，本文就以 $n = 32$ 的情况进行阐述；

对于三种编码方式，总结如下：
  1）这三种机器数的最高位均为符号位；
  2）当真值为正数时，原码、反码、补码的表示形式相同，符号位用 “0” 表示，数值部分真值相同；
  3）当真值为负数时，原码、反码、补码的表示形式不同，但是符号位都用 “1” 表示，数值部分：反码是原码的 “按位取反”，补码是反码加一；

正数

真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
原码：  00000000 00000000 00000000 00100101
反码：  00000000 00000000 00000000 00100101
补码：  00000000 00000000 00000000 00100101

负数

真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
原码：  10000000 00000000 00000000 00100101
反码：  11111111 11111111 11111111 11011010
补码：  11111111 11111111 11111111 11011011

六、为什么要引入补码

• 最后，我们来讲一下引入补码的真实意图是什么。

1、主要目的

• 计算机的四则运算希望设计的尽量简单。但是引入 符号位 的概念，对于计算机来说还要考虑正负数相加，等于引入了减法，所以希望是计算机底层 只设计一个加法器，就能把加法和减法都做了。

2、原码运算

• 对于原码的加法，两个正数相加的情况如下：

+1 的原码：00000000 00000000 00000000 00000001
+1 的原码：00000000 00000000 00000000 00000001
----------------------------------------------
+2 的原码：00000000 00000000 00000000 00000010

• 好像没有什么问题？于是人们开始探索减法，但是起初设计的人的初衷是希望不用减法，只用加法运算就能够将加法和减法都包含进来，于是，我们尝试用原码的负数表示来做运算；
• 将 1 - 2表示成1 + (-2)，然后用原码相加得到：

+1 的原码：00000000 00000000 00000000 00000001
-2 的原码：10000000 00000000 00000000 00000010
----------------------------------------------
-3 的原码：10000000 00000000 00000000 00000011

• 我们发现1 + (-2) = -3，计算结果明显是错的，所以为了解决减法问题，引入了反码；

3、反码运算

• 对于正数的加法，两个正数反码相加的情况和原码相加一致，不会有问题。
• 对于正数的减法，转换成一正一负两数相加。
• 将 1 - 2表示成1 + (-2)，情况如下：

+1 的反码：00000000 00000000 00000000 00000001
-2 的反码：11111111 11111111 11111111 11111101
---------------------------------------------- 
-1 的反码：11111111 11111111 11111111 11111110

• 没有什么问题？但是某种情况下，反码会有歧义，当两个相同的数相减时，即1 - 1表示成1 + (-1)，情况 如下：

+1 的反码：00000000 00000000 00000000 00000001
-1 的反码：11111111 11111111 11111111 11111110
---------------------------------------------
-0 的反码：11111111 11111111 11111111 11111111

• 这里出现了一个奇怪的概念，就是 “负零”，反码运算过程中会出现有两个编码表示零这个数值。
• 为了解决正负零的问题引入了补码的概念。

4、补码运算

1）两个正数的补码相加。

• 其和等于 它们的原码相加，已经验证过，不会有问题；

2）一正一负两个数相加，且 答案非零 。

+1 的补码：00000000 00000000 00000000 00000001
-2 的补码：11111111 11111111 11111111 11111110
---------------------------------------------- 
-1 的补码：11111111 11111111 11111111 11111111

• 结果正确；

3）一正一负两个数相加，且 答案为零。

+1 的补码   00000000 00000000 00000000 00000001
-1 的补码： 11111111 11111111 11111111 11111111
---------------------------------------------- 
0 的补码：1 00000000 00000000 00000000 00000000

• 两个互为相反数的数相加后，得到的数的补码为 $2^n$（可以认为是是溢出了），所以那个 1 根本不会被存进计算机中，也就是表现出来的结果就是 零！
• 而且，补码的这个运算，和我们之前提到的定义吻合。
• 综上所述，补码解决了整数加法带来的所有问题。

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通过这一章，我们学会了：
  1）原码的表示形式；
  2）反码的表示形式；
  3）补码的表示形式；

• 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神！

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课后习题

• 【第11题】给出四个数，输出四个数的和 | 溢出了怎么办？

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作者的专栏：
  👉C语言基础专栏《光天化日学C语言》
  👉C语言基础配套试题详解《C语言入门100例》
  👉算法进阶专栏《夜深人静写算法》