编译原理学习笔记（十五）~最小化DFA

概念

        最小化：优化DFA，使其状态数最少。

        那么什么时候状态数是最少的呢?这里我们需要介绍两个新的名词：可区分和不可区分。

官方定义：
        可区分：对于任何两个状态t和s，若从一状态出发接受输入字符串ω，而从另一状态出发不接受ω，或者从t出发和从s出发到达不同的接受状态，则称ω对状态t和s是可区分的。
        不可区分：设想任何输入序列ω对s和t均是不可区分的，则说明从s出发和从t出发，分析任何输入序列ω均得到相同结果。因此，s和t可以合并成一个状态
        通俗一点的来说，可区分状态可以理解为两个（或多个）状态根本不是一类，根据下一个输入的符号，不同状态得到的结果可能会出现不同。而不可区分状态就是，这两个（或多个）状态，无论下一个接收的符号是什么，得到的结果都是一样的。【定义理解不懂的，可以参考后面的例子思考，应该会容易一点点】
        综上所述，DFA的最小化就是找出DFA中所有的不可区分状态，把它们合并为一个状态，这样可以简化DFA的状态数，显得更加简洁。

举例说明

下图是一个没有最小化的DFA

现在我们对其进行最小化，那么怎么办呢？这里一般不好一步到位，需要我们慢慢测试【多试试就可以了】。

首先从上面的方法可以看出，我们先加上ABC为一类，D是一类。然后测试ABC是可区分还是不可区分的。

• ABC接收a，到达的状态都是B
• ABC接收b，到达的状态是C、D。其中AC接收b到达C，B接收b到达D。

从上的分析可以看出，ABC不是同一类的，属于可区分，因为在接收b的时候，出现了分歧。
然后再加上AC是一类，B单独一类，D单独一类。

• AC接收a，到达的状态都是B
• AC接收b，到达的状态都是C

从上面的分析我们可以发现，AC是一类，不可区分，因为无论输入a，还是b，它们最终到达的状态都是一样的，所以我们可以说它们是不可区分的。在最小化DFA中，AC是可以合并为一个状态的。
所以最后的最小化DFA就是：

注：解题没有固定的格式，需要凭借自己的理解去猜测，测试到底哪一组是不可区分。慢慢练习，自然就会熟悉的。

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