原码、反码、补码详解

一 . 机器数和真值

在学习原码 , 反码和补码之前 , 需要先了解机器数和真值的概念 .

1 、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式 ,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号 , 正数为 0, 负数为 1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为 8 位，转换成二进制就是 00000011 。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2 、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011 ，其最高位 1 代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值 131 （ 10000011 转换成十进制等于 131 ）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例： 0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1 ， 1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1

二 . 原码 , 反码 , 补码的基础概念和计算方法 .

在探求为何机器要使用补码之前 , 让我们先了解原码 , 反码和补码的概念 . 对于一个数 , 计算机要使用一定的编码方式进行存储 . 原码 , 反码 , 补码是机器存储一个具体数字的编码方式 .

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值 , 即用第一位表示符号 , 其余位表示值 . 比如如果是 8 位二进制 :

[+1] 原  = 0000 0001

[-1] 原  = 1000 0001

第一位是符号位 . 因为第一位是符号位 , 所以 8 位二进制数的取值范围就是 :

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式 .

2. 反码

反码的表示方法是 :

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上 , 符号位不变，其余各个位取反 .

[+1] = [00000001] 原  = [00000001] 反

[-1] = [10000001] 原  = [11111110] 反

可见如果一个反码表示的是负数 , 人脑无法直观的看出来它的数值 . 通常要将其转换成原码再计算 .

3. 补码

补码的表示方法是 :

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上 , 符号位不变 , 其余各位取反 , 最后 +1. ( 即在反码的基础上 +1)

[+1] = [00000001] 原  = [00000001] 反  = [00000001] 补

[-1] = [10000001] 原  = [11111110] 反  = [11111111] 补

对于负数 , 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的 . 通常也需要转换成原码在计算其数值 .

三 . 为何要使用原码 , 反码和补码

在开始深入学习前 , 我的学习建议是先 " 死记硬背 " 上面的原码 , 反码和补码的表示方式以及计算方法 .

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数 . 对于正数因为三种编码方式的结果都相同 :

[+1] = [00000001] 原  = [00000001] 反  = [00000001] 补

所以不需要过多解释 . 但是对于负数 :

[-1] = [10000001] 原  = [11111110] 反  = [11111111] 补

可见原码 , 反码和补码是完全不同的 . 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式 , 为何还会有反码和补码呢 ?

首先 , 因为人脑可以知道第一位是符号位 , 在计算的时候我们会根据符号位 , 选择对真值区域的加减 . ( 真值的概念在本文最开头 ). 但是对于计算机 , 加减乘数已经是最基础的运算 , 要设计的尽量简单 . 计算机辨别 " 符号位 " 显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂 ! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法 . 我们知道 , 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数 , 即 : 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法 , 这样计算机运算的设计就更简单了 .

于是人们开始探索 将符号位参与运算 , 并且只保留加法的方法 . 首先来看原码 :

计算十进制的表达式 : 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] 原  + [10000001] 原  = [10000010] 原  = -2

如果用原码表示 , 让符号位也参与计算 , 显然对于减法来说 , 结果是不正确的 . 这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数 .

为了解决原码做减法的问题 , 出现了反码 :

计算十进制的表达式 : 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原  + [1000 0001] 原 = [0000 0001] 反  + [1111 1110] 反  = [1111 1111] 反  = [1000 0000] 原  = -0

发现用反码计算减法 , 结果的真值部分是正确的 . 而唯一的问题其实就出现在 "0" 这个特殊的数值上 . 虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的 , 但是 0 带符号是没有任何意义的 . 而且会有 [0000 0000] 原 和 [1000 0000] 原 两个编码表示 0.

于是补码的出现 , 解决了 0 的符号以及两个编码的问题 :

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原  + [1000 0001] 原  = [0000 0001] 补  + [1111 1111] 补  = [0000 0000] 补 =[0000 0000] 原

这样 0 用 [0000 0000] 表示 , 而以前出现问题的 -0 则不存在了 . 而且可以用 [1000 0000] 表示 -128:

(-1) + (-127) = [1000 0001] 原  + [1111 1111] 原  = [1111 1111] 补  + [1000 0001] 补  = [1000 0000] 补

-1-127 的结果应该是 -128, 在用补码运算的结果中 , [1000 0000] 补   就是 -128. 但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128, 所以 -128 并没有原码和反码表示 .( 对 -128 的补码表示 [1000 0000] 补算出来的原码是 [0000 0000] 原 , 这是不正确的 )

使用补码 , 不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题 , 而且还能够多表示一个最低数 . 这就是为什么 8 位二进制 , 使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127], 而使用补码表示的范围为 [-128, 127].

因为机器使用补码 , 所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型 , 可以表示范围是 : [-2 31 , 2 31 -1] 因为第一位表示的是符号位 . 而使用补码表示时又可以多保存一个最小值 .

四 原码 , 反码 , 补码 再深入

计算机巧妙地把符号位参与运算 , 并且将减法变成了加法 , 背后蕴含了怎样的数学原理呢 ?

将钟表想象成是一个 1 位的 12 进制数 . 如果当前时间是 6 点 , 我希望将时间设置成 4 点 , 需要怎么做呢 ? 我们可以 :

1. 往回拨 2 个小时 : 6 - 2 = 4

2. 往前拨 10 个小时 : (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨 10+12=22 个小时 : (6+22) mod 12 =4

2,3 方法中的 mod 是指取模操作 , 16 mod 12 =4 即用 16 除以 12 后的余数是 4.

所以钟表往回拨 ( 减法 ) 的结果可以用往前拨 ( 加法 ) 替代 !

现在的焦点就落在了如何用一个正数 , 来替代一个负数 . 上面的例子我们能感觉出来一些端倪 , 发现一些规律 . 但是数学是严谨的 . 不能靠感觉 .

首先介绍一个数学中相关的概念 : 同余

同余的概念

两个整数 a ， b ，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a ， b 对于模 m 同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明 :

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以 4, 16, 28 关于模 12 同余 .

负数取模

正数进行 mod 运算是很简单的 . 但是负数呢 ?

下面是关于 mod 运算的数学定义 :

上面是截图 , " 取下界 " 符号找不到如何输入 (word 中粘贴过来后乱码 ). 下面是使用 "L" 和 "J" 替换上图的 " 取下界 " 符号 :

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是 :

x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x 与 y 的商的下界 .

以 -3 mod 2 举例 :

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以 :

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

开始证明

再回到时钟的问题上 :

回拨 2 小时 = 前拨 10 小时

回拨 4 小时 = 前拨 8 小时

回拨 5 小时 = 前拨 7 小时

注意 , 这里发现的规律 !

结合上面学到的同余的概念 . 实际上 :

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2 与 10 是同余的 .

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4 与 8 是同余的 .

距离成功越来越近了 . 要实现用正数替代负数 , 只需要运用同余数的两个定理 :

反身性 :

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的 .

线性运算定理 :

如果 a ≡ b (mod m) ， c ≡ d (mod m) 那么 :

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证明 , 请看 : http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以 :

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数 , 找到了它的正数同余数 . 但是并不是 7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等 .

接下来回到二进制的问题上 , 看一下 : 2-1=1 的问题 .

2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原  + [1000 0001] 原 = [0000 0010] 反  + [1111 1110] 反

先到这一步 , -1 的反码表示是 1111 1110. 如果这里将 [1111 1110] 认为是原码 , 则 [1111 1110] 原 = -126, 这里将符号位除去 , 即认为是 126.

发现有如下规律 :

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即 :

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126 的余数结果是相同的 ! 而这个余数 , 正式我们的期望的计算结果 : 2-1=1

所以说一个数的反码 , 实际上是这个数对于一个膜的同余数 . 而这个膜并不是我们的二进制 , 而是所能表示的最大值 ! 这就和钟表一样 , 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值 !

而 2+126 很显然相当于钟表转过了一轮 , 而因为符号位是参与计算的 , 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果 .

既然反码可以将减法变成加法 , 那么现在计算机使用的补码呢 ? 为什么在反码的基础上加 1, 还能得到正确的结果 ?

2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原  + [1000 0001] 原  = [0000 0010] 补  + [1111 1111] 补

如果把 [1111 1111] 当成原码 , 去除符号位 , 则 :

[0111 1111] 原  = 127

其实 , 在反码的基础上 +1, 只是相当于增加了膜的值 :

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时 , 表盘相当于每 128 个刻度转一轮 . 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是 [-128, 128].

但是由于 0 的特殊情况 , 没有办法表示 128, 所以补码的取值范围是 [-128, 127]