一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
  于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
  这一章的主要内容是位与运算符的应用。

二、人物简介

• 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  
• 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
  

三、位与运算符

• 位与运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x & y。
• 位与运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2 = 4$ 种情况。

• 通过这个表，我们得出一些结论：
• 1）无论是 0 或 1，只要位与上 1，还是它本身；
• 2）无论是 0 或 1，只要位与上 0，就变成 0；
  

#include <stdio.h>
int main() {
    int a = 0b1010;           // (1)
    int b = 0b0110;           // (2)
    printf("%d\n", (a & b) ); // (3)
    return 0;
}

• $(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $(1010)_2$。
• $(2)$ 同样的，b的实际值就是 $(0110)_2$；
• $(3)$ 那么这里a & b就是对 $(1010)_2$ 和 $(0110)_2$ 的每一位做表格中的&运算。
• 所以最后输出结果为：

2

• 因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $(0010)_2$。
• 注意：这里的 前导零 可有可无，作者写上前导零只是为了对齐以及让读者更加清楚位与的运算方式。

四、位与运算符的应用

1、奇偶性判定

• 我们判断一个数是奇数还是偶数，往往是通过取模%来判断的，如下：

#include <stdio.h>
int main() {
    if(5 % 2 == 1) {
        printf("5是奇数\n");
    }
    if(6 % 2 == 0) {
        printf("6是偶数\n");
    }
    return 0;
} 

• 然而，我们也可以这么写：

#include <stdio.h>
int main() {
    if(5 & 1) {
        printf("5是奇数\n");
    }
    if( (6 & 1) == 0 ) {
        printf("6是偶数\n");
    }
    return 0;
} 

• 哇，好神奇！
• 这是利用了奇数和偶数分别的二进制数的特性，如下表所示：

• 所以，我们对任何一个数，通过将它和 0b1进行位与，结果为零，则必然这个数的二进制末尾位为0，根据以上表就能得出它是偶数了；否则，就是奇数。
• 注意，由于if语句我们还没有实际提到过，所以这里简单提一下，后面会有系统的讲解：

	if( expr ) { body }

• 对于以上语句，expr代表的是一个表达式，表达式的值最后只有 零 或 非零，如果值为非零，才会执行body中的内容。

2、取末五位

【例题1】给定一个数，求它的二进制表示的末五位，以十进制输出即可。

• 这个问题的核心就是：我们只需要末五位，剩下的位我们是不需要的，所以可以将给定的数 位与上0b11111，这样一来就直接得到末五位的值了。
• 代码实现如下：

#include <stdio.h>
int main() {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\n", (x & 0b11111) );
    return 0;
} 

【例题2】如果是想得到末七位、末九位、末十四位、末 K 位，应该如何实现呢？

3、消除末尾五位

【例题3】给定一个 32 位整数，要求消除它的末五位。

• 还是根据位与的性质，消除末五位的含义，有两层：
• 1）末五位，要全变成零；
• 2）剩下的位不变；
• 那么，根据位运算的性质，我们需要数，它的高27位都为1，低五位都为 0，则这个数就是：

• $$(11111111111111111111111111100000)_2$$

• 但是如果要这么写，代码不疯掉，人也会疯掉，所以一般我们把它转成十六进制，每四个二进制位可以转成一个十六进制数，所以得到十六进制数为0xffffffe0。
• 代码实现如下：

#include <stdio.h>
int main() {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\n", (x & 0xffffffe0) );
    return 0;
} 

4、消除末尾连续1

【例题4】给出一个整数，现在要求将这个整数转换成二进制以后，将末尾连续的1都变成0，输出改变后的数（以十进制输出即可）。

• 我们知道，这个数的二进制表示形式一定是：

• $$...0\underbrace{11...11}_{\rm k}$$

• 如果，我们把这个二进制数加上1，得到的就是：

• $$...1\underbrace{00...00}_{\rm k}$$

• 我们把这两个数进行位与运算，得到：

• $$...0\underbrace{00...00}_{\rm k}$$

• 所以，你学会了吗？

5、2的幂判定

【例题5】请用一句话，判断一个正数是不是2的幂。

• 如果一个数是 2 的幂，它的二进制表示必然为以下形式：

• $$1\underbrace{00...00}_{\rm k}$$

• 这个数的十进制值为 $2^k$。
• 那么我们将它减一，即 $2^k-1$ 的二进制表示如下（参考二进制减法的借位）：

• $$0\underbrace{11...11}_{\rm k}$$

• 于是 这两个数位与的结果为零，于是我们就知道了如果一个数 $x$ 是 2 的幂，那么x & (x-1)必然为零。而其他情况则不然。
• 所以本题的答案为：

	(x & (x-1)) == 0

通过这一章，我们学会了：
  1）用位运算 & 来做奇偶性判定；
  2）用位运算 & 获取一个数的末五位，末七位，末K位；
  3）用位运算 & 消除某些二进制位；
  4）用位运算 & 消除末尾连续 1；

• 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神！

课后习题

• 【第39题】位与 & 的应用 | 一句话消除末尾连续的 1

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作者的专栏：
  👉C语言基础专栏《光天化日学C语言》
  👉C语言基础配套试题详解《C语言入门100例》
  👉算法进阶专栏《夜深人静写算法》