线分割平面与平面分割空间问题

由这一题可以推一类的问题，首先由直线划分区域到折线划分区域，再延伸到封闭图形划分区域，
最后在推广为平面划分空间的问题。

(1) n条直线最多分平面问题

题目:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

解析: 可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。
但一个类型的题目还是从简单的入手，才容易发现规律。
当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。
则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。
这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。
而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。
故：f(n)=f(n-1)+n
f(n-1)=f(n-2)+n-1
……
f(2)=f(1)+2
因为，f(1)=2
所以，f(n)=n*(n+1)/2 + 1

(2) 折线分平面（hdu2050）

解析：根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。
当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，
则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。
那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。
但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故：f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1
f(n-1)=f(n-2) + 4*(n-2)+1
……
f(2)=f(1) + 4*1 + 1
因为，f(1)=2
所以，f(n)=2n^2-n+1

(3) 封闭图形分平面问题

三角形划分区域（hdu1249）

解析：当n-1个三角形时，区域面积数为 f(n-1) 。
要区域数最多，那么第n个三角形就必须与前n-1个三角形相交。
则第n个三角形的一条边就被分割成 2*（n-1）-1条线段与两个半条的线段 ，
即相当于2*（n-1）条线段。则第 n 个三角形被分割成 3*2*（n-1）条线段。
则增加了 6*（n-1）个面。
故：f(n)=6*(n-1)+f(n-1)
f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)
……..
f(2)=6*1+f(1)
因为，f(1)=2
所以，f(n)=3*n*(n-1)+2

圆形划分区域

题目：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，
且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，
则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。
故： f(n)=f(n-1)+2*(n-1)
f(n-1)=f(n-2)+2*(n-2)
……
f(2)=f(1)+2*1
因为，f(1)=2
所以，f(n)=n^2-n+2

(5)平面分割空间问题（hdu1290）

解析：由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，
从而决定新增的区域数。
试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？
当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。
要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。
即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。
（g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，
则最多增加g（n-1）个空间。
故：f(n)=f(n-1)+g(n-1) ( ps: g(n)=n(n+1)/2+1 )
f(n-1)=f(n-2)+g(n-2)
……
f(2)=f(1)+g(1)
因为，f(1)=g(1)=2
所以，f(n)=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）
=[ (1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2) - (1+2+3+……+n ) ]/2 + n+ 1
=(n^3+5n)/6+1

（注：以上思路参考网络）

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