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分治（详解残缺棋盘 —— Java代码实现）

ruochen 发表于 2021/04/28 09:36:36 2021/04/28

【摘要】分治（详解残缺棋盘 —— Java代码实现）

分治

总体思想

将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k为子问题，如此递归进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来的问题的解

使用条件

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

能否利用分治法完全取决于子问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划

基本步骤

divide-and-conquer(P) {
	if (|P| <= n0) abhoc(P);  // 解决小规模的问题
	divide P into smaller subinstances P1, P2 ,... ,Pk  // 分解问题
	for (i = 1; i <= k; i++) {
		yi = divide-and-conquer(Pi);  // 递归的解各子问题
		return merge(y1, ... ,yk)  // 将各子问题的解合并为原问题的解
	}
}

案例

覆盖残缺棋盘

在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
用 (n²) / 3个三重格放置在 n × n 的缺陷棋盘上，正好能够覆盖所有方格

具体步骤：

划分为四个小棋盘
其中一个是 4 × 4 缺陷棋盘
在其他三个 4 × 4 棋盘都都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘
递归地覆盖四个4×4缺陷棋盘
在其它三个 4 × 4 棋盘都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘。

Java代码实现

package Chess;

public class Chess {
	// 表示棋盘
	private int[][] board;
	// 表示棋盘的大小为2的多少次方
	private int boardSize;
	// 棋盘中特殊方格的位置（行号，列号）
	private int dr, dc;
	private int tile = 1;
	
	public Chess() {
		board = new int[1][1];
		dr = 0;
		dc = 0;
		boardSize = 0;
	}
	
	public Chess(int r, int c, int s) {
		int n;
		n = (int) Math.pow(2, s);
		if (n <= r || n <= c)
			System.out.println("初始化参数错误！");
		else {
			board = new int[n][n];
			dr = r;
			dc = c;
			boardSize = s;
		}
	}
	
	public void Print() {
		for (int i = 0; i < Math.pow(2, this.boardSize); i++) {
			for (int j = 0; j < Math.pow(2, this.boardSize); j++) {
				System.out.printf("%3d|", this.board[i][j]);
			}
			System.out.println();
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		// 2^2*2^2棋盘, 假设特殊方格位置为（3, 3）
		Chess c1 = new Chess(3, 3, 2);
		c1.chessBoard(0, 0, c1.dr, c1.dc, (int)Math.pow(2, c1.boardSize));
		c1.Print();
	}
	
	
	/**
	 * @param tr：棋盘左上角方格的行号
	 * @param tc：棋盘左上角方格的列号
	 * @param dr：特殊方格所在的行号
	 * @param dc：特殊棋盘所在的列号
	 * @param size：2^k, 棋盘的规格为 2^k*2^k
	 **/
	public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) {
		if (size == 1) return;
		
		// t: L型骨牌号，s分割棋盘
		int t = tile++;
		int s = size / 2;
		
		// 覆盖左上角棋盘
		if (dr < tr + s && dc < tc + s) {
			// 特殊方格在此棋盘中
			chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
		} else { 
			// 此棋盘中无特殊方格则用t号L型骨牌覆盖右下角
			board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
			// 覆盖其余方格
			chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
		}
		
		// 覆盖右上角子棋盘
		if (dr < tr + s && dc >= tc + s) {
			// 特殊方格在此棋盘中
			chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
		} else {
			// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左下角
			board[tr + s - 1][tc + s] = t;
			chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
		}
		
		// 覆盖左下角棋盘
		if (dr >= tr + s && dc < tc + s) {
			chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
		} else {
			// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖右上角
			board[tr + s][tc + s - 1] = t;
			chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
		}
		
		// 覆盖右下角棋盘
		if (dr >= tr + s  && dc >= tc + s) {
			// 特殊方格在此棋盘中
			chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
		} else {
			// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左上角
			board[tr + s][tc + s] = t;
			chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
		}
	}
}

  2|  2|  3|  3|
  2|  1|  1|  3|
  4|  1|  5|  5|
  4|  4|  5|  0|

大整数的乘法

小学的方法：效率太低 O(n2)
分治法：

X = A × 2^n/2 + B
Y = C × 2^n/2 + D
XY = (A × 2^n/2 + B)(C × 2^n/2 + D)
=AC × 2ⁿ + (AD + CB) × 2^n/2 + BD

实质上没有改进
再次进行改进：
XY = AC × 2ⁿ + (AD + CB) × 2^n/2 + BD
=AC × 2ⁿ + ((A - B)(D - C) + AC + BD) × 2^n/2 + BD
这样只需进行3次 n/2 位乘法

T(n) = O(n^log3) = O(n^1.59) （有了较大的改进）