简单暴力到dp的优化(入门篇)

兔老大 发表于 2021/04/21 23:04:45 2021/04/21
【摘要】 上篇,我们提到,遇到问题,首先根据定义写出笨方法,找出依赖关系(有些题这一步就不太简单,要自己归纳关系),然后进行优化,下面,我们通过几道此方面的经典的,较为简单的二维题目进行讲解。   开始根据题来说明: 第一个萌新题 给定数组arr,  arr  中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币,每种面值的货币可以使用任意张, &...

上篇,我们提到,遇到问题,首先根据定义写出笨方法,找出依赖关系(有些题这一步就不太简单,要自己归纳关系),然后进行优化,下面,我们通过几道此方面的经典的,较为简单的二维题目进行讲解。

 

开始根据题来说明:

第一个萌新题

给定数组arr,  arr  中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币,每种面值的货币可以使用任意张,  再给定一个整数aim 代表要找的钱数,求组成aim 的最少货币数。

  [举例]

  arr=[5,2,3],  aim=20。

  4 张5 元可以组成20 元,其他的找钱方案都要使用更多张的货币,返回4。

arr=[5,2,3],  aim=0。

  不用任何货币就可以组成0 元,返回0。

  arr=[3,5],aim=2。

  根本无法组成2 元,钱不能找开的情况下默认返回-1。

(你要是想贪心就贪吧,反正我不贪)

定义f(a,b)代表的是a面值及之前的货币,组成b元的最少张数。那f(arr[-1],aim)就是我们想求的答案。现在分析,怎样通过前面的状态推出结果?对于货币arr[-1],我们可以一张都不用,那最少张数其实就是f(arr[-2],aim),我们也可以用一张arr[-1],最少张数就可能是f(arr[-2],aim-arr[-1])+1(用之前的钱组成aim-arr[-1]元钱,然后加一张arr[-1]),同理,我们可以用两张arr[-1],或者更多,直到下一个就超过aim的时候。所以我们应该在所有情况中选最小的,

归纳表达式:

f(a,b)=min(f(arr[a-1],b-k*arr[a])+k),k>=0,且b-k*arr[a]>=0

当然,以前也提到过,直接递归我们会有大量重复计算,所以需要记下来之前的结果供我们使用。有两个参数代表现在的状态,所以生成二维表。

l=[[0 for i in range(len(arr))] for i in range(aim+1)]#

我们看,f(arr[a],b)和谁有关?和上一行,也就是arr[a-1]那一行的很多左边元素有关。

所以确定打表顺序,从上到下,从左到右,打表,一个一个打,l[a][b]=min(f(a-1,b-k*arr[a])+k),依次推出l[a][b],右下角就是答案。

 

 

 

但是,还是有相当多的重复计算,我们的l[a][b-arr[a]]其实就是根据除了l[a-1][b]的左边那些元素求的的最小值

所以l[a][b]=min(l[a][b-arr[a]]+1,l[a-1][b])。

 

其实和左边和上边元素相关的背包,还有一些别的题,都是如此。对于本物品,当前决策就是拿或不拿,以前的最优情况

l[a][b-arr[a]]l[a-1][b]已经有了。不用管的。结合当前状态的定义,就明白了。

 

至此,时间优化到严格o(a*b),空间o(a*b),空间还能优化到o(min(a,b)),下一个题讲压缩方法。

第二个萌新题

给一个由数字组成的矩阵,初始在左上角,要求每次只能向下或向右移动,路径和就是经过的数字全部加起来,求可能的最小路径和。

1  3  5  9

8  1  3  4

5  0  6  1

8  8  4  0

路径:1 3 1 0 6 1 0路径和最小,返回12

生成和矩阵相同大小的二维表DP,用来记录当前的最小路径和

(以后也不分析暴力的时间复杂度了)

对于普遍的位置i,j,只有i-1,j和i,j-1这两个位置可以一步走到这里,所以

DP[i,j]=min(DP[i,j-1],DP[i-1,j])+L[i,j]

压缩:我们发现,除了这个位置上本身的数,DP[i,j]只和DP表中左边和上边的值有关,所以可以生成长度为矩阵较小边长一维表,用两层循环。注意顺序,从左向右打表,只有这样,左边的那个元素才是被更新过的,才是本行的左边那个元素。

最左边的DP值是直接累加的,其他位置

For i 0 to 高度:

    For j 0 to 宽度

DP[j]=min(DP[j-1],DP[j])+L[i,j]

时间不变,空间优化到o(较小边长)

 

 第三道萌新题

题干和第一题一样,请返回所有的还钱方法有多少种

经过一二题,应该自己会做了。

(请记住:一般问方法的题目,只需把式子中max或者min改为sum即可)


  
  1. n=int(input())
  2. dp=[0]*(n+1)
  3. dp[0]=1
  4. tmp=[1,5,10,20,50,100]
  5. for kk in tmp:
  6. for i in range(kk,n+1):
  7. dp[i]+=dp[i-kk]
  8. print(dp[n])

 

文章来源: fantianzuo.blog.csdn.net,作者:兔老大RabbitMQ,版权归原作者所有,如需转载,请联系作者。

原文链接:fantianzuo.blog.csdn.net/article/details/79964233

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