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小数在内存中是如何存储的？

本文关键字：小数、float、double、浮点数、精度

一、IEEE 754（二进制浮点数算术标准）

在学习进制转换时，我们了解到：我们经常使用的十进制数是转换为二进制进行存储的，只需要按照顺序将转换后的结果放在对应的位置上就行了。其实小数的存储也是基于二进制的，不过由于小数由整数部分和小数部分组成，为了方便表示和比较，会使用另外的方式来存储。
IEEE 754是最广泛使用的浮点数运算标准，在标准中规定了四种表示浮点数值的方式：

• 单精度：32位 - 4字节
• 双精度：64位 - 8字节
• 延伸单精度：43+
• 延伸双精度：79+
  对于进制转换不清楚的同学可以进传送门：进制之间如何转换？

1. 存储结构

小数在内存中的存储由三部分组成，分别是符号、阶码（或称指数）、尾数。符号位我们很熟悉，只占一位，并且出现在最高位，0为正，1为负。

• 单精度：符号1位，阶码8位，尾数23位
• 双精度：符号1位，阶码11位，尾数52位
• 延伸精度很少使用，不做介绍

2. 存储方式

一个十进制的小数在进行存储时，首先要将整数部分与小数部分都转换为二进制，然后再整理成类似科学计数法的形式，即：移动小数点，使得小数点的左边只有一位，并且只可能为1（因为是二进制），小数点右侧的部分即为尾数部分，移动小数点的位数将会被记录在指数部分中。为了能够透彻的理解十进制小数转化存储在内容中的过程，我们还需要了解一个概念：阶码。

二、阶码（指数）

1. 定义

对于一个二进制数，我们总可以把它整理成：尾数 ✖️ 2的P次方的形式，其中P就被定义为阶码，我们也可以认为2是底数，P为指数，以整数形式表示。

2. 为什么小数被称作浮点数？

• 定点小数

在早期计算机中，为了节省硬件资源，阶码P的值是被固定的，那么小数的表示形式也同时被固定了。规定第一位为符号位，小数点固定在第一位后面，这种小数是纯小数，被称为定点小数。

• 浮点小数

与定点小数相对的，如果阶码P可变，那这种小数表示法就被称为浮点表示，这样的数也就被称为浮点数了。更为重要的一点，P指明了小数点的位置。

3. 移码

明白了阶码的概念，也了解了浮点数的前世今生，那么我们大费周章的说这个概念干什么呢？没错，重点来了，就是为了这个移码的码制。在进行小数点移动时，需要先将十进制数转换为二进制，再去移动小数点，保证小数点左侧只有一位，且数值为1。

• 对于绝对值大于2的数，这个时候我们向左移动小数点，对应的指数为正数；
• 对于一个绝对值小于1的数，这个时候我们向右移动小数点，对应的指数为负数；
• 绝对值在1和2之间的数嘞？这个时候不用移动好叭。。。

那么问题就来了，我们的指数有的时候正，有的时候负。But！更为严重的问题是，在指数部分对应的区间并没有符号位这个东西，最前面的符号位代表的是小数本身的正负，这就使得存储和比较都变得困难，所以我们希望通过一种修正的方式避开正负号的问题。怎么做呢？以float为例，指数部分长度为8。
原有带符号位的8个bit的存储范围是-128 ~ 127（不明白的同学可以进传送门为什么一个byte的存储范围是-128~127？），也就是说可以记录-128次方到+127方之间的所有指数值。如果忽略符号位，把它也当做一个数据的存储位，那么范围就是0~255，我们取这个数的一半作为修正值，即：127，把每次移动小数点后获得的指数值都加上127。

• 小数点向左移动3位，对应的指数为+3，存入指数部分的值即为130的二进制表示
• 小数点向右移动2位，对应的指数为-2，存入指数部分的值即为125的二进制表示

这样的好处就是避开了符号的问题，同时，原有的指数的值也得到的了保存，取出的时候减掉127就好了。那么直观的讲，原来的范围是-128 ~ 127，加上127之后范围应该变成-1 ~ 254，貌似对应关系有问题呀~这其实是一个很简单的二进制换算问题，对于有符号数，最高位为符号位，用1代表负数，-128的补码为：1000 0000，但是这在无符号数眼里的值为128，-1的补码为：1111 1111，但是在无符号数眼里值为255。所以我们不能直接通过加减法得出这个取值范围，而应该结合二进制存储的规则（不明白的同学可以二进传送门查看补码相关的知识：为什么一个byte的存储范围是-128~127？）。

三、小数的进制转换

说了这么久，我们用几个例子来给大家演示一下，会给大家列出小数在内存中存储的完整表示，在这之前还是需要先学习一下十进制小数应该怎么转换为二进制。

1. 十进制转二进制

小数分为整数部分和小数部分，整数部分的转换照常进行，不断的除2得到，小数部分刚好是不断的乘2得到，一直到小数部分为0，或者已经达到了对应的精度，以69.3125为例。

• 整数部分：69 = 64 + 4 + 1 = 2^6 + 2^2 + 2^0
  • 对应的二进制数为：0100 0101
• 小数部分：转换过程如下 -> 不断乘2，取出结果中的整数部分
  • 对应的二进制数为：0101

• 最终转换结果：0100 0101.0101

2. 二进制转十进制

由二进制转换为十进制比较简单，就是运算规则做相反的运算，整数部分是做除法得到的，那么转换回去的时候就是做乘法，小数部分是做乘法得到的，那么转换回去的时候就做除法，以0100 0101.0101为例。

• 整数部分：2^6 + 2^2 + 2^0 = 64 + 4 + 1 = 69
• 小数部分：0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 1 x 2^-4 = 0.3125

可以看到规律其实是统一的，就是从左至右根据二进制数乘以2的n次方，从左至右n的值不断递减，在个位处，n的值为0，进入小数部分n的值为负数，在运算上的体现为除法。

3. 小数在内存中的存储表示

• 99.9

99.9的二进制表示：1100011.111001100110011001100110011001100110011001101。现在我们需要将小数点左移6位，对应的指数值为+6。此时小数点右侧的位数为51位，这些将会被存放在尾数部分，如果使用double类型可以将数据全部记录，但是如果使用float类型，由于尾数部分只有23位，所有只能记录部分的数据，误差也就产生了！
整理一下，符号位为0，指数部分为6+127=133，尾数部分直接丢进去，能装多少装多少，以float为例。
最终表示为：0 10000101 10001111100110011001100

• 0.226

0.226的二进制表示：0.0011100111011011001000101101000011100101011000000100001。此时小数点需要右移3位，对应的指数值为-3，剩下的尾数部分同样能塞多少塞多少。
整理一下，符号位为0，指数部分为-3+127=124，以float为例。
最终表示为：0 1111100 11001110110110010001011

四、float与double

1. 精度范围

从上面的例子我们可以看到，当一个小数在存储的过程中，误差就已经产生了，而且由于是转换为二进制存储，我们很难对所有的小数进行判断是否在存储时丢失了精度。看下面几个例子：

 public static void main(String[] args) { float f1 = 99.99999f; System.out.println(f1);// 输出结果：99.99999 // 貌似很正常啊，其实float的内心慌的一批 float f2 = 99.999999f; System.out.println(f2);// 输出结果：100.0 // 此时终于暴露了吧？在存储时就已经丢失了精度，在参与小数计算时更加暴露无遗 }

  

 

  
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• float精度：小数点后6~7位
• double精度：小数点后15~16位

丢失精度的原因经过上面的分析和例子相信大家应该很清楚了，我们按照常规流程进行二进制转换后得到的尾数部分可能很长，但是以单精度或双精度进行存储时只能存储一部分，那么必然导致精度的丢失。

2. 解决精度不足

float和double作为基本数据类型使用起来当然是比较方便，但是精度的问题会造成不准确，虽然我们可以通过使用保留几位小数的方式勉强应对，但是为了保证高精度通常会使用BigDecimal，具体用法不在此赘述，将在后续文章中说明。

3. 与长整型的比较

我们在接触基本数据类型的时候曾经碰到过一个大哥大，曾以为能够装进去很大很大的整数，毕竟是8字节的身材，但是仔细那么一比较，存储范围竟然还比不过4字节的float，更不要说同等身材的double了。

• long的存储范围：-2^63 ~ 2^63 - 1
• float：-2^128 ~ 2^128
• double：-2^1024 ~ 2^1024

以上数据只是表示一个量级，不能代表浮点数的精确范围，不过这也足够碾压long类型了，以至于long类型可以隐式转换为float，这就解决了我们的一个疑问，为什么4字节的float存储范围比8字节的long类型还要大？自然是存储方式不同。

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