【排序算法】— 手写堆排序

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前言

在个人的专栏中，其他排序陆陆续续都已经写了，而堆排序迟迟没有写，在国庆假期的尾声，把堆排序也写一写。

插入类排序—(折半)插入排序、希尔排序
交换类排序—冒泡排序、快速排序手撕图解
归并类排序—归并排序(逆序数问题)
计数排序引发的围观风波——一种O(n)的排序
两分钟搞懂桶排序

对于常见的快排、归并这些O(nlogn)的排序算法，我想大部分人可能很容易搞懂，但是堆排序大部分人可能比较陌生，或许在Java的comparator接口中可能了解一点。但堆排序在应用中比如优先队列此类维护动态数据效率比较高，有着非常广泛的应用。

而堆排序可以拆分成堆和排序，其中你可能对堆比较陌生，对排序比较熟悉，下面就带你彻底了解相关内容。

堆

什么是堆？

谈起堆，很多人第一联想到的是土堆，而在数据结构中这种土堆与完全二叉树更像，而堆就是一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树(完全)的数组对象。且总是满足以下规则：

• 堆总是一棵完全二叉树
• 每个节点总是大于(或小于)它的孩子节点。

完全二叉树
我想什么是完全二叉树大部分人也是知道：最后一层以上都是满的，最后一层节点从左到右可以排列(有任何空缺即不满足完全二叉树)。

看作树的数组对象
我们都知道我们排序的对象一般都是对数组之类的序列进行排序，如果转成抽象数据结构再实现可能成本比较大。

我们正常在构造一棵二叉树的时候通常采用链式left，right节点，但其实二叉树的表示方式用数组也可以实现，只不过普通的二叉树如果用数组储存可能空间利用 效率会很低而很少采用，但我们的堆是一颗完全二叉树。使用数组储存空间使用效率也比较高，所以在形式上我们把这个数组看成对应的完全二叉树，而操作上可以直接操作数组也比较方便。

大根堆 VS 小根堆
上面还有一点就是在这个完全二叉树中所有节点均大于(或小于)它的孩子节点，所以这里就分为两种情况

• 如果所有节点大于孩子节点值，那么这个堆叫做大根堆，堆的最大值在根节点。
• 如果所有节点小于孩子节点值，那么这个堆叫做小根堆，堆的最小值在根节点。

堆排序

通过上面的介绍，我想你对堆应该有了一定的认识，堆排序肯定是借助堆实现的某种排序，其实堆排序的整体思路也很简单，就是

• 构建堆，取堆顶为最小(最大)。
• 将剩下的元素重新构建一个堆，取堆顶，一直到元素取完为止。

建堆

如果给一个无序的序列，首先要给它建成一个堆，我们如何实现这个操作呢？以下拿一个小根堆为例进行分析。

对于二叉树(数组表示)，我们从下往上进行调整，从第一个非叶子节点开始向前调整，对于调整的规则如下：

①对于小根堆，当前节点与左右孩子比较，如果均小于左右孩子节点，那么它本身就是一个小根堆，它不需要做任何改变，如果左右有孩子节点比它还小，那么就要和最小的那个进行替换。

②但是普通节点替换可能没问题，对于某些和子节点替换有可能改变子树成堆，所以需要继续往下判断交换(最差判断到叶子节点)。

分析构造堆的这个过程，每个非叶子节点都需要判断比较是否交换，这样一层就是O(n)，而每个节点可能替换之后影响子节点成堆需要再往下判断遍历，你可能会认为它是一个O(nlogn),但其实你看看二叉树性值，大部分都是在底部的，上面的只有很少个数，如果你用数学方法去求得最终的复杂度它还是一个O(n)级别，这里就不作详细介绍了。

一个大根堆建立过程也是一样的：

堆排序

上面的一个堆建造完毕之后，我们怎么去利用这个堆实现排序呢？答案也是很简单的，我们知道堆有一个特性就是堆顶是最小(或最大)，而我们建造这个如果去除第一个元素，剩余左右孩子依然满足堆的性质。

将最后一个元素放置堆顶，由于第一个元素的存在使得整个不满足堆的性质。分析这个结构，和我们前面构造堆的过程中构造到第一个元素的操作相同：

• 判断左右孩子，如果需要交换则交换，交换后再次考虑交换子节点是否需要交换。一直到不需要考虑。

这样到最后，堆排序即可完成，最终得到的序列即为堆排序序列。

一个大根堆的排序过程如下：

具体实现

有了上述的思想之后，如何具体的实现这个堆排序的代码呢？
从细致的流程来看，大概流程是如下的：

给定数组建堆(creatHeap)

• 从第一个非叶子节点开始判断交换下移(shiftDown)，使得当前节点和子孩子能够保持堆的性值
• 如果交换打破子孩子堆结构性质，那么就要重新下移(shiftDown)被交换的节点一直到停止。

堆构造完成，取第一个堆顶元素为最小(最大)，剩下左右孩子依然满足堆的性值，但是缺个堆顶元素，如果给孩子调上来，可能会调动太多并且可能破坏堆结构。

• 所以索性把最后一个元素放到第一位。这样只需要判断交换下移(shiftDown）,不过需要注意此时整个堆的大小已经发生了变化，我们在逻辑上不会使用被抛弃的位置，所以在设计函数的时候需要附带一个堆大小的参数。
• 重复以上操作，一直堆中所有元素都被取得停止。

而堆算法复杂度的分析上，之前建堆时间复杂度是O(n)。而每次删除堆顶然后需要向下交换，每个个数最坏为logn个。这样复杂度就为O(nlogn).总的时间复杂度为O(n)+O(nlogn)=O(nlogn).

具体实现的代码如下：

import java.util.Arrays;

public class 堆排序 { static void swap(int arr[],int m,int n)
	{
		int team=arr[m];
		arr[m]=arr[n];
		arr[n]=team;
	}
	//下移交换 把当前节点有效变换成一个堆(小根)
	static void shiftDown(int arr[],int index,int len)//0 号位置不用
	{
		int leftchild=index*2+1;//左孩子
		int rightchild=index*2+2;//右孩子
		if(leftchild>=len) return;
		else if(rightchild<len&&arr[rightchild]<arr[index]&&arr[rightchild]<arr[leftchild])//右孩子在范围内并且应该交换
		{ swap(arr, index, rightchild);//交换节点值 shiftDown(arr, rightchild, len);//可能会对孩子节点的堆有影响，向下重构
		}
		else if(arr[leftchild]<arr[index])//交换左孩子
		{ swap(arr, index, leftchild); shiftDown(arr, leftchild, len);
		}
	}
	//将数组创建成堆
	static void creatHeap(int arr[])
	{
		for(int i=arr.length/2;i>=0;i--)
		{ shiftDown(arr, i,arr.length);
		}
	}
	static void heapSort(int arr[])
	{
		System.out.println("原始数组为 ："+Arrays.toString(arr));
		int val[]=new int[arr.length]; //临时储存结果
		//step1建堆
		creatHeap(arr);
		System.out.println("建堆后的序列为  ："+Arrays.toString(arr));
		//step2 进行n次取值建堆，每次取堆顶元素放到val数组中，最终结果即为一个递增排序的序列
		for(int i=0;i<arr.length;i++)
		{ val[i]=arr[0];//将堆顶放入结果中 arr[0]=arr[arr.length-1-i];//删除堆顶元素，将末尾元素放到堆顶 shiftDown(arr, 0, arr.length-i);//将这个堆调整为合法的小根堆，注意(逻辑上的)长度有变化
		}
		//数值克隆复制
		for(int i=0;i<arr.length;i++)
		{ arr[i]=val[i];
		}
		System.out.println("堆排序后的序列为:"+Arrays.toString(arr)); }
	public static void main(String[] args) {
		int arr[]= {14,12,16,8,9,1,14,9,6 };
		heapSort(arr);	
	}

}


  

 

  
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执行结果：

当然，代码为了成章节我把它命名为中文，还有些不规范的地方请注意甄别。

对于堆排序就先介绍到这里了，当然堆的强大之处不止这么一点，优先队列同样也是用到堆但是这里就不详细介绍了，我相信优秀的你肯定又掌握了一门O(nlogn)级别的排序算法啦。如果写的有啥不确切地方还请指正。

结语

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