xgboost系列丨xgboost原理及公式推导
【摘要】 建树过程中如何选择使用哪个特征哪个值来进行分裂？什么时候停止分裂？如何计算叶节点的权值？建完了第一棵树之后如何建第二棵树？为防止过拟合，XGB做了哪些改进树的集成本文主要针对xgboost的论文原文中的公式细节做了详细的推导，对建树过程进行详细分析。对于样本个数为n特征个数为m的数据集 ，其中。树的集成学习方法使用K个增量函数来预测输出：为子模型的预测函数，每个即是一棵树。函数空间即树的搜索...
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建树过程中如何选择使用哪个特征哪个值来进行分裂？ -
什么时候停止分裂？ -
如何计算叶节点的权值？ -
建完了第一棵树之后如何建第二棵树？ -
为防止过拟合，XGB做了哪些改进
树的集成
，其中。
为子模型的预测函数，每个即是一棵树。
即树的搜索空间。其中q为每棵树的结构，q将
域中每个样本对应到唯一的叶节点上，最终产生T个叶节点，
则是该叶节点对应的权重，w即从节点到权重的映射（权重即叶节点的值）。每个
对应一个独立的树结构q和该树每个叶节点的权重w。（这里树结构是指每个分裂点和对应的分裂值）。
可以看做一个分段函数，q对应的不同的分段，w对应的为该分段的值，即分段到值的映射。
，目标函数为：
，其参数为一个个的函数，因为参数为函数，所以无法使用传统的优化方法在欧氏空间中进行优化，而是采用了加法模型来进行训练。
(对应xgboost中参数base_score，注意并不等于base_score，而是经过Sigmoid函数映射后的值)，在此基础上根据该预测值与真实y值的损失 ，建立第一棵树，之后每次迭代时都是根据其之前所有树做出的预测之和与真实y值的损失来建立新树。也就是每次迭代建树时用新树来优化前一个树的损失 。
为第t棵树对第i个样本做出的预测。我们每次添加新树的时候，要优化的目标函数为上一个树产生的损失。
为新建的这棵树做出的预测，
为之前所有的树预测值之和，
即是新建了当前这棵树后模型做出的预测值，求其与真实值
之间的损失（注意这里是损失不是残差，这里的
可以是log_loss, mse等）。
。gbdt对损失函数的优化是直接使用了损失函数的负梯度，沿着梯度下降的方向来减小损失，其是也就是一阶泰勒展开。而xgboost在这里使用了二阶泰勒展开，因为包含了损失函数的二阶信息，其优化的速度大大加快。
其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。
可以得到二阶展开式：
为预测值
和真实值
之间的损失，
为常量，因此是以预测值为自变量的函数，当建立新树给出新的预测后，相当于在上一次的预测
上增加了一个无穷小量
是常数，
是上次迭代求出的值即这里的
，
为无穷小量
。有了这个对应之后。
，其中
，
为常量，优化的是损失函数的最小值，因此常量值可以从损失函数中去掉。上式可简化为：
叶节点权重
进行展开，得：
是新建的树的值，对于每个样本来说，就是对应的叶节点的权重
。定义
为分到叶节点
的样本(叶节点总数为T，样本总数为n)
上的损失：
使
最小，显然这是个一元二次方程求最小值问题。
的最优值：
分裂准则
)在此权重下对应的的最小损失为每个叶节点上样本最小损失之和（将上式中的
代入）:
下产生的最优损失可以做为树结构的评价函数，也就是作为树分裂时候的评价指标。
为每次分裂时分到左子树上的样本，
为每次分裂时分到右子树上的样本，有
。则在该次分裂后损失的减小量为：
是使函数达到解析解的权重。
损失函数计算
：
为预测值，则有：
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