最短路径问题

作者：JohnserfSeed

在游戏中，当我们需要让角色移动到指定位置时，只需要鼠标轻轻的一点就可以完成这简单的步骤，系统会立即寻找离角色最近的一条路线

可是，这背后的行为逻辑又有什么奥秘呢？ 你会怎么写这个寻路算法呢？

一般我们遇到这种路径搜索问题，大家首先可以想到的是广度优先搜索算法(Breadth First Search)、还有深度优先(Depth First Search)、弗洛伊德（Floyd）、迪杰斯特拉(Dij)等等这些非常著名的路径搜索算法，但是在绝大多数情况下这些算法面临的缺点就暴露了出来：时间复杂度比较高。

所以，大部分环境里我们用到的是一个名叫A* (A star)的搜索算法

(点击图片浏览动图)

说到最短路径呢，我们就不得不提到广度优先遍历（BFS），它是一个万能算法，它不单单可以用在 寻路或者搜索的问题上。windows的系统工具：画板 中的油漆桶就是其比较典型一个的例子

这里对路径搜索做一个比较简洁的示例

假设我们是在一个网格上面进行最短路径的搜索

我们只能上下左右移动，不可以穿越障碍物。算法的目的是为了能让你寻找到一条从起点到站点的最短路径

假设每次都可以上下左右朝4个方向进行移动

算法在每一轮遍历后会标记这一轮探索过的方块称为边界（Frontier）,就是这些绿色的方块。

(点击图片浏览动图)

然后算法呢会循环往复的从这些边界方块开始，朝他们上下左右四个方向进行探索，直到算法遍历到了终点方块才会停止。而最短路径呢就是算法之前一次探索过的路径。为了得到算法探索过的整条路径呢，我们可以在搜索的过程中顺势记录下路径的来向。

比如这里方块上的白色箭头就代表了之前方块的位置

在每一次探索路径的时候，我们要做的也只是额外的记录下这个信息

要注意，所有探索过的路径我们需要将它们标记成灰色，代表它们“已经被访问过“，这样子算法就不会重复探索已经走过的路径了。

广度优先算法显然可以帮助我们找到最短路径,不过呢它有点傻,因为它对路径的寻找是没有方向性的，它会向各个方向探测过去。

最坏的情况可能是找到终点需要遍历整个地图，因此很不智能，我们需要一个更加高效的算法。

就是本次我们要介绍的A * （A star）搜索算法

A* Search Algorithm

”A*搜索算法“也被叫做“启发式搜索”

与广度优先不同的是，我们在每一轮循环的时候不会去探索所有的边界方块（Frontier），而会去选择当前“代价（cost）”最低的方块进行探索。

这里的“代价”就很有意思了，也是A*算法智能的地方。

我们可以把这里的代价分成两部分，一部分是“当前路程代价（可表示成f-cost）”：比如你从起点出发一共走过多少个格子，f-cost就是几

另一部分是“预估代价（可表示成g-cost）”：用来表示从当前方块到再终点方块大概需要多少步，预估预估所以它不是一个精确的数值，也不代表从当前位置出发就一定会走那么远的距离，不过我们会用这个估计值来指导算法去优先搜索更有希望的路径。

最常用到的“预估代价”有欧拉距离（Euler Distance）“，就是两点之间的直线距离(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2

当然还有更容易计算的“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”，就是两点在竖直方向和水平方向上的距离总和|x1 - x2|+|y1 - y 2|

曼哈顿距离不用开方，速度快，所以在A* 算法中我们可以用它来充当g-cost

接下来，我们只要把之前讲到的这两个代价相加就得出了总代价：f-cost + g-cost

然后在探索方块中，优先挑选总代价最低的方块进行探索，这样子就会少走很多弯路

而且搜索到的路径也一定是最短路径。

在第一轮循环中，算法对起点周围的四个方块进行探索，并计算出“当前代价”和“预估代价”。

比如这里的1代表从起步到当前方块走了1步

这里的4代表着方块到终点的曼哈顿距离，在这四个边界方块中，右边方块代价最低，因此在下一轮循环中会优先对它进行搜寻

在下一轮循环中，我们已同样的方式计算出方块的代价，发现最右边的方块价值依然最低，因此在下一轮的循环中，我们对它进行搜寻

算法就这样子循环往复下去，直到搜寻到终点为止

增加一下方块的数量级，A*算法同样可以找到正确的最短路径

最为关键的是，它搜寻的方块个数明显比广度优先遍历少很多，因此也就更高效。

理解了算法的基本原理后，接下来就是上代码了，这里我直接引用redblobgames的Python代码实现，因为人家实在写的太好了！

def heuristic(a, b): #Manhattan Distance
    (x1, y1) = a
    (x2, y2) = b
    return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)

def a_star_search(graph, start, goal):
 frontier = PriorityQueue()
    frontier.put(start, 0)
    came_from = {}
    cost_so_far = {}
    came_from[start] = None
    cost_so_far[start] = 0
    
    while not frontier.empty():
        current = frontier.get()
        
        if current = goal:
            break
            
        for next in graph.neighbors(current):
            new_cost = cost_so_far[current] + graph.cost(current, next)
            if next not in cost_so_far or new_cost < cost_so_far[next]:
                cost_so_far[next] = new_cost
                priority = new_cost + heuristic(goal, next)
                frontier.put(next, priority)
                came_from[next] = current
                
    return came_from, cost_so_far

先来看看最上面几行，frontier中存放了我们这一轮探测过的所有边界方块(之前图中那些绿色的方块)

frontier = PriorityQueue()

PriorityQueue代表它是一个优先队列，就是说它能够用“代价”自动排序，并每次取出”代价“最低的方块

frontier.put(start, 0)

队列里面呢我们先存放一个元素，就是我们的起点

came_from = {}

接下来的的 came_from 是一个从当前方块到之前的映射，代表路径的来向

cost_so_far = {}

这里的 cost_so_far 代表了方块的“当前代价”

came_from[start] = None
cost_so_far[start] = 0

这两行将起点的 came_from 置空，并将起点的当前代价设置成0，这样子就可以保证算法数据的有效性

while not frontier.empty():
 current = frontier.get()

接下来，只要 frontier 这个队列不为空，循环就会一直执行下去，每一次循环，算法从优先队列里抽出代价最低的方块

if current = goal:
 break

然后检测这个方块是不是终点块，如果是算法结束，否则继续执行下去

for next in graph.neighbors(current):

接下来，算法会对这个方块上下左右的相邻块，也就是循环中 next 表示的方块进行如下操作

new_cost = cost_so_far[current] + graph.cost(current, next)

算法会先去计算这个 next 方块的“新代价”，它等于之前代价 加上从 current 到 next 块的代价

由于我们用的是网格，所以后半部分是 1

if next not in cost_so_far or new_cost < cost_so_far[next]:

然后只要 next 块没有被检测过，或者 next 当前代价比之前的要低

frontier.put(next, priority)

我们就直接把他加入到优先队列，并且这里的总代价priority等于“当前代价”加上”预估代价“

priority = new_cost + heuristic(goal, next)

预估代价就是之前讲到的“曼哈顿距离”

def heuristic(a, b):     (x1, y1) = a     (x2, y2) = b     return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)

之后程序就会进入下一次循环，重复执行之前的所有步骤

这段程序真的是写的特别巧妙，可能比较难以理解可是多看几遍说不定你就突然灵光乍现了呢

拓展

如果把地图拓展成网格形式（Grid），因为图的节点太多，遍历起来会非常的低效

于是我们可以吧网格地图简化成 节点更少的路标形式（WayPoints）

然后需要注意的是：这里任意两个节点之间的距离就不再是1了，而是节点之间的实际距离

我们还可以用自上而向下分层的方式来存储地图

比如这个四叉树（Quad Tree）

又或者像unity中使用的导航三角网（Navigation Mesh），这样子算法的速度就会得到进一步优化

另外，我还推荐redblobgames的教程

各种算法的可视化，以及清楚的看见各种算法的遍历过程、中间结果

以及各种方法之间的比较，非常的直观形象，对于算法的理解也很有帮助。

参考：

[1]周小镜. 基于改进A算法的游戏地图寻径的研究[D].西南大学,2010. [2]https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html [3]https://en.wikipedia.org/wiki/A_search_algorithm