常微分方程数值求解简介

常微分方程

含有未知函数及其导数的方程叫做微分方程。若未知函数有一个自变量，则称为常微分方程（ODE）；若未知函数有多个自变量，则称为偏微分方程（PDE）。常微分方程的一般形式为：

其中左边是自变量x，函数y，以及y的1到n阶导组成的表达式，若表达式中最高阶导数为n，则称为n阶常微分方程。比如下面(a)是一阶ODE，(b)是二阶ODE。

ODE可以用来描述很多物理过程，是众多研究领域的基础。一般研究过程是将问题进行抽象，建模成ODE的数学形式，然后通过求解ODE来认识系统在每一时刻的状态。然而科学与工程问题中遇到的ODE往往很复杂，绝大多数情况下不可能求出函数y的表达式。所以在实际问题中退而求其次，不去解函数y表达式，而是求y在若干点上的近似值即可。

数值求解

举个例子，讨论下面ODE的数值求解问题：

第一个式子是ODE形式，第二个式子给出了在时刻0时的初值条件，这个问题也是ODE里面的初值问题。刚才提到由于f可能是很复杂的表达式，所以绝大情况下求不出函数y的表达式，实际中经常用数值解法。

所谓数值解法就是根据公式（1），把我们所关注的各个时刻函数y的值直接计算出来，即y(t)上一系列离散点

对应的y值：

欧拉方法

欧拉方法是求解ODE最常用的方法之一。首先需要将公式（1）重写成欧拉公式，假设相邻两个离散点是等距的

函数y在tn时刻的导数可以写成差分形式：

根据公式（1）和（2），可以得到欧拉公式：

根据公式（3），就可以依次求解函数y在t0,t1,t2,...等离散时刻的数值解了。

但是，公式（2）是由泰勒展开得到的，存在误差，所以欧拉方法求解的数值解会有误差积累，具体来说，函数y在tn+1时刻的展开为：

根据公式（1）（3）（4），可得函数y(t{n+1])与欧拉解y{n+1}误差为：

举个例子

用欧拉方法求解下列ODE初值问题，x范围[0,1]，间距h取0.1，并跟真实解比较

求解过程：

构建ODE公式（5）的欧拉形式：

依次计算y1到y9，结果如下表所示：

可以看出，欧拉解与真实解之间是由误差的，随着t时刻的增加，误差不断积累，所以也有一些校正的方法提出来，这里不做介绍。

最后总结一下，本文简要地介绍了常微分方程的概念以及数值求解方法，并通过一个简单的示例来解释ODE的求解过程和存在的误差。