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深度学习中各种优化方法的原理和比较（SGD，Adagrad，Adadelta，Adam，Adamax，Nadam）

leo xiao 1 发表于 2020/04/08 10:00:07 2020/04/08

【摘要】优化方法原理和比较

梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

梯度下降算法（Gradient Descent Optimization）是神经网络模型训练最常用的优化算法。对于深度学习模型，基本都是采用梯度下降算法来进行优化训练的。

SGD - Stochastic gradient descent (SGD) 随机梯度下降法，根据每一条训练示例 x (i)和标签 label y (i)执行参数更新 :

θ = θ − η · ∇θJ(θ; x (i) ; y (i) )

批量梯度下降为大型数据集执行了冗余计算，因为它会在参数更新前重新计算类似示例的梯度。 SGD通过每执行一次更新一次参数来取消了这种冗余，从而在在线学习上会有更快的速度。但是会导致目标函数的波动很大，如下图所示：

SGD很难通过陡谷，即在一个维度上的表面弯曲程度远大于其他维度的区域[19]，这种情况通常出现在局部最优点附近。在这种情况下，SGD摇摆地通过陡谷的斜坡，同时，沿着底部到局部最优点的路径上只是缓慢地前进，这个过程如图a：

如图2b所示，动量法[16]是一种帮助SGD在相关方向上加速并抑制摇摆的一种方法。动量法将历史步长的更新向量的一个分量γγ增加到当前的更新向量中（部分实现中交换了公式中的符号）

vt=γvt−1+η∇θJ(θ)vt=γvt−1+η∇θJ(θ)

θ=θ−vt

动量项γγ通常设置为0.9或者类似的值。

从本质上说，动量法，就像我们从山上推下一个球，球在滚下来的过程中累积动量，变得越来越快（直到达到终极速度，如果有空气阻力的存在，则γ<1γ<1）。同样的事情也发生在参数的更新过程中：对于在梯度点处具有相同的方向的维度，其动量项增大，对于在梯度点处改变方向的维度，其动量项减小。因此，我们可以得到更快的收敛速度，同时可以减少摇摆。

Adagrad

AdaGrad 会在学习的过程中自动调整 learning rate, 对于出现频率低的参数使用较大的 learning rate, 出现频率高的参数使用较小的 learning rate. 因此, 这种方法对于训练数据比较稀疏的情况比较适用. AdaGrad 可以提高 SGD 的鲁棒性

Adagrad是一种基于梯度的优化算法：让学习率适应参数，对于出现次数较少的特征，我们对其采用更大的学习率，对于出现次数较多的特征，我们对其采用较小的学习率。因此，Adagrad非常适合处理稀疏数据。Dean等人[6]发现Adagrad能够极大提高了SGD的鲁棒性并将其应用于Google的大规模神经网络的训练，其中包含了YouTube视频中的猫的识别。此外，Pennington等人利用Adagrad训练Glove词向量，因为低频词比高频词需要更大的步长。

前面，我们每次更新所有的参数θθ时，每一个参数θiθi都使用的是相同的学习率ηη。由于Adagrad在tt时刻对每一个参数θiθi使用了不同的学习率，我们首先介绍Adagrad对每一个参数的更新，然后我们对其向量化。为了简洁，令gt,igt,i为在tt时刻目标函数关于参数θiθi的梯度：

gt,i=∇θJ(θi)

在tt时刻，对每个参数θiθi的更新过程变为：

θt+1,i=θt,i−η⋅gt,I

对于上述的更新规则，在tt时刻，基于对θiθi计算过的历史梯度，Adagrad修正了对每一个参数θiθi的学习率：

其中，Gt∈Rd×dGt∈Rd×d是一个对角矩阵，对角线上的元素i,ii,i是直到tt时刻为止，所有关于θiθi的梯度的平方和（Duchi等人[7]将该矩阵作为包含所有先前梯度的外积的完整矩阵的替代，因为即使是对于中等数量的参数dd，矩阵的均方根的计算都是不切实际的。），ϵϵ是平滑项，用于防止除数为0（通常大约设置为1e−81e−8）。比较有意思的是，如果没有平方根的操作，算法的效果会变得很差。

由于GtGt的对角线上包含了关于所有参数θθ的历史梯度的平方和，现在，我们可以通过GtGt和gtgt之间的元素向量乘法⊙⊙向量化上述的操作：

θt+1=θt−ηGt+ϵ−−−−−√⊙gtθt+1=θt−ηGt+ϵ⊙gt

Adagrad算法的一个主要优点是无需手动调整学习率。在大多数的应用场景中，通常采用常数0.010.01。

Adagrad的一个主要缺点是它在分母中累加梯度的平方：由于没增加一个正项，在整个训练过程中，累加的和会持续增长。这会导致学习率变小以至于最终变得无限小，在学习率无限小时，Adagrad算法将无法取得额外的信息。接下来的算法旨在解决这个不足。

Adadelta

Adadelta 是Adagrad的一种扩展算法，以处理Adagrad学习速率单调递减的问题。不是计算所有的梯度平方，Adadelta将计算计算历史梯度的窗口大小限制为一个固定值ww。

在Adadelta中，无需存储先前的ww个平方梯度，而是将梯度的平方递归地表示成所有历史梯度平方的均值。在tt时刻的均值E[g2]tE[g2]t只取决于先前的均值和当前的梯度（分量γγ类似于动量项）：

我们将γγ设置成与动量项相似的值，即0.90.9左右。为了简单起见，我们利用参数更新向量ΔθtΔθt重新表示SGD的更新过程：

我们先前得到的Adagrad参数更新向量变为：

现在，我们简单将对角矩阵GtGt替换成历史梯度的均值E[g2]tE[g2]t：

由于分母仅仅是梯度的均方根（root mean squared，RMS）误差，我们可以简写为：

作者指出上述更新公式中的每个部分（与SGD，动量法或者Adagrad）并不一致，即更新规则中必须与参数具有相同的假设单位。为了实现这个要求，作者首次定义了另一个指数衰减均值，这次不是梯度平方，而是参数的平方的更新：

因此，参数更新的均方根误差为：

由于RMS[Δθ]tRMS[Δθ]t是未知的，我们利用参数的均方根误差来近似更新。利用RMS[Δθ]t−1RMS[Δθ]t−1替换先前的更新规则中的学习率ηη，最终得到Adadelta的更新规则：

使用Adadelta算法，我们甚至都无需设置默认的学习率，因为更新规则中已经移除了学习率。

特点：

训练初中期，加速效果不错，很快
训练后期，反复在局部最小值附近抖动

Adam

自适应矩估计（Adaptive Moment Estimation，Adam）是另一种自适应学习率的算法，Adam对每一个参数都计算自适应的学习率。除了像Adadelta和RMSprop一样存储一个指数衰减的历史平方梯度的平均vtvt，Adam同时还保存一个历史梯度的指数衰减均值mtmt，类似于动量：