有趣的博弈

问题一

假如有五名海盗掠夺到了100枚金币，这时为了公平起见，他们决定按照如下思路分配：
1.首先，抽签决定自己的号码
2.其次，由1号提出分配方案，然后大家5人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
3.然后，假如1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4.最后以此类推，直到最终得出一个分配方案。
如果你是1号海盗，那么你应该提出怎样的分配方案可以使自己的获利最大？

提示：每人二十枚金币的分配方法虽然公平，但不能保证自己获利最大，所以想要让自己获利最大就应该让投票的结果正好超过一半。如果我们一上来就假设有五名海盗，这道题目就会无从下手。所以我们对这一问题进行简化。假如只有一名海盗，那么他当然希望所有的金币就是自己的啦。这种属于不需要分配，就可以占为己有的情况。这种情况下，这名海盗得到100枚金币。

那么把这个模型稍微复杂一点儿，如果有两名海盗。那么如果先分配的1号海盗给2号海盗的金币少于100枚，2号海盗就会不同意他的分配方法。按照规则，1号海盗被扔到海里喂鲨鱼，之后对于2号海盗就回到了之前的简单模型，即可以独享100枚金币。想到这里，1号海盗就会为了保命而选择把100枚金币全部给2号海盗，以避免丧命。

接着，再把这个模型复杂一点儿，如果有三名海盗。那么这时的1号海盗已经知道之前的情况了。如果他被丢到海里喂鲨鱼了，那么2号海盗就会代替他进行分配，就意味着如果2号海盗不同意他的分配方法就一定会为了保命而什么都得不到。这时候，1号海盗就是留给自己99枚金币，给2号海盗1枚金币。这样一来2号海盗一想，有总比没有好啊。3号海盗什么都没得的肯定不会同意。不过没有关系，算上1号海盗自己的一票和2号海盗的一票，已经二比一了。满足分配的条件。所以如果有三名海盗的话，1号海盗得99枚金币，2号海盗得1枚金币，3号海盗什么都得不到。

然后，我们再将模型复杂一点点，如果有四名海盗。这时候1号海盗已经熟知了之前的情况。当他的给出的方案不能得到三票赞同的话，就意味着2号海盗继承他的位置，2号海盗得99枚金币，3号海盗得1枚金币，4号海盗什么都得不到。除了自己的一票之外。他还需要两票赞同。显然的如果给2号海盗少于99枚金币的话，2号海盗肯定会反对。但是如果只有自己一票和2号海盗的一票，3号海盗和4号海盗还是会反对。这样就不能满足超过半数赞同的条件了。那么这时候，1号海盗只能选择不分给2号海盗任何金币。去试图征得3号海盗和4号海盗的赞同。那么只有分配给3号海盗2枚金币，4号海盗1枚金币。就会赢得他们的赞同。因为如果这时候3号海盗和4号海盗不赞同他的方案的话，自己的获利必然就会受到损失。所以当有四名海盗的时候，1号海盗分配给自己97枚金币，2号海盗不分配，3号海盗分配2枚金币，4号海盗分配1枚金币。

最后，我们来考虑有五名海盗的情况。这时，1号海盗知道了如果自己的方案不能通过，就意味着2号海盗分配给自己97枚金币，3号海盗不分配，4号海盗分配2枚金币，5号海盗分配1枚金币。同样的道理，1号海盗放弃***2号海盗。只要给3号海盗1枚金币，3号海盗就会同意之前的分配方法。这时只需要从4和5中任意选一名海盗支持自己就可以获得三票了。可以选择的是给4号海盗3枚金币，或者5号海盗2枚金币。那么这时候1号海盗必然选择给5号海盗2枚金币。因为这样能让自己获利更多。所以如果有五名海盗按照之前的规则分配金币的话，1号海盗的最佳分配方案是自己获得97枚金币，2号和4号海盗不获得金币。3号海盗获得1枚金币，5号海盗获得2枚金币。

问题二

有若干个巫婆和一个公主居住在一个小岛上。如果一个巫婆吃掉公主，她就会变成公主。但是她会丧失自己的法术，就有可能会被其他巫婆吃掉。假如所有巫婆在能够保命的情况下都希望自己能够变成公主，假如有20个巫婆，那么公主能不能安全的生活在岛上呢？

和之前的海盗的问题一样，我们还是来建立一个比较简单的模型，然后一点点的复杂化，就可以知道答案了。

假如有一个巫婆和公主生活在岛上，那么巫婆肯定会吃掉公主。因为她知道如果她吃掉公主之后，也没有人能威胁她了。所以按照题目中所述的所有巫婆都想要变成公主。那么她一定会吃掉公主来满足愿望的。

那么如果有两个巫婆和公主生活在岛上公主会不会安全呢？答案是肯定的。因为如果谁先吃了公主的话，就会变成一个公主和一个巫婆的情况，那么先吃掉公主的巫婆就会被另一个巫婆吃掉。为了保命，两个巫婆都不敢去吃公主，所以公主会是安全的。

接下来再把模型复杂一点。如果有三个巫婆的话，这三个巫婆中肯定有一个巫婆会先吃掉公主。因为这样就变回了之前的情况，剩下两个巫婆谁也不敢吃她。因为先吃她的人肯定会被另一个人吃掉。

然后再把模型复杂一点点，当有四个巫婆的时候。如果有谁先吃了公主，马上就会变成三个巫婆的情况，那么谁也不敢先吃公主。所以公主是安全的。

根据这样的规律我们发现，当岛上有奇数个巫婆的时候，先下手为强的巫婆就会吃掉公主。当岛上的巫婆是偶数个的时候，所有巫婆都不敢先吃公主，以避免变为奇数个巫婆的情况之后自己被吃掉。我们就得出了这样的结论：当岛上的巫婆是偶数个的时候公主能安全的生活在岛上。题目中所说的岛上有20个巫婆。20显然是个偶数，所以公主能安全的生活在岛上。

问题三

老师找来若干个学生做实验。在闭上眼睛的情况下给他们戴上黑色或白色帽子。等帽子戴好后允许他们睁开眼睛。他们之间不允许互相交流，每隔十分钟老师问一次，谁带了黑色的帽子。已知至少有一个人带了黑色的帽子。如果所有学生都带了黑色的帽子，那么需要多长时间，所有学生才能准确的说出自己带了黑帽子呢？

这个问题与之前不同的是要求每一个学生都需要说出自己带了黑帽子。并且大家不能交流，也就是说除了知道至少有一个人带了黑帽子之外，如果没有人说出自己带的是黑帽子的话，就无法得到更多的新信息了。

我们还可以做和之前一样的假设，但是这次如果从一个人假设是没有意义的。因为只有一个人的话，老师还告诉他至少有一个人带了黑帽子，他马上就知道戴黑帽子的是自己了。那么我们从两个人开始假设。

如果有两名学生做这个实验的话，两名学生都能看见对方带的是黑帽子，但是不知道自己带了什么颜色的帽子。当第一个十分钟的时候，两名学生看见对方没有向老师报告自己带的是黑帽子。那么就清楚的知道自己肯定不是带的白帽子。因为如果自己带的是白帽子的话，对方在第一个十分钟的时候就会告诉老师自己带的是黑帽子了。所以就是因为自己带的也是黑帽子，所以对方才没有说。所以两个人会在第二个十分钟的时候同时报告老师自己带的是黑帽子。

如果有三名学生做实验的话，在第一个十分钟大家都看见的是，两顶黑帽子，不能得知自己是不是黑帽子。所以大家依然会等待。但是在第三个十分钟的时候，大家就会发现其实自己带的是黑帽子。因为如果自己带的是白帽子的话，另外两个人看见的就是一白一黑。看见一白一黑的人马上就会想，如果自己带的是白帽子，那么戴黑帽的人就会在第一个十分钟说出来自己是黑帽子。既然在第一个十分钟没人说出来自己是黑帽子，那么自己肯定也是黑帽子，所以才没有人说出来。那么这时候第二个十分钟就会有人说自己带的是黑帽子。那么既然第二个十分钟也没人说自己带的是黑帽子，那么就说明三个人带的全是黑帽子。

以此类推，我们就会发现找若干个学生做这个实验，所有学生就会在若干个十分钟之后准确的说出自己带的是黑帽子。

本文转载自异步社区。

原文链接：https://www.epubit.com/articleDetails?id=NC7E3EF90CF60000152961A5017905C20