重要性采样（Importance Sampling）

矩形法（Quadrature Method）

在矩形法 [ 《高等数学第六版上册》（ISBN 978-7-04-020549-7） 第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 三、定积分的近似计算 2007 ] 中，我们将积分区间等分成若干个小区间， 并用均匀的频率对被积函数进行采样，分别（近似地）代表被积函数在各个小区间上的平均值，形成若干个Δx相同的矩形，将这些矩形的面积的和作为定积分的近似值（当然，实际中还需要考虑到正负号的问题），如下图：

矩阵法的不足

显然，矩形法（使用均匀的频率进行采样）并不是“最科学的”方法；在被积函数的函数值较小的区间上，可以用较低的频率进行采样，每个采样点（近似地）代表被积函数在较大范围的区间（即Δx较大）上的平均值，从而减少了采样次数且提升了效率（虽然相对于该区间的局部而言，可能会产生较大的误差，但是，由于该区间内的函数值较小，相对于整个积分区间而言，影响是极低的，并不会产生明显的误差）；而在被积函数的函数值较大的区间上，可以用较高的频率进行采样，每个采样点（近似地）代表被积函数在较小范围的区间（即Δx较小）上的平均值，由于该区间内的函数值较大，可以明显地降低整个积分区间的误差，如下图：

蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）

蒙特卡洛积分可以认为是对矩形法的泛化：按照某个PDF（Probability Density Function，概率密度函数）的频率对被积函数进行采样，每个采样点（近似地）代表被积函数在长为1/PDF的区间上的平均值；可以证明，这些矩形的面积的和的数学期望（Expected Value）即为定积分的值。

重要性采样（Importance Sampling）

重要性采样是蒙特卡洛积分中所使用的一种方差缩减（Variance Reduction）技术（另一种常用的方差缩减技术是分层抽样（Stratified Sampling））。 重要性采样利用数学工具对我们在上文中对“矩形法的不足”的定性讨论给出了一个精确的定量的结论；可以证明，当PDF与被积函数相等时，蒙特卡洛积分的方差（Variance）达到最小值零（可以认为方差越低，误差越小）；重要性采样即使用一个与被积函数尽可能接近的PDF进行蒙特卡洛积分：在被积函数的函数值较小的区间上，PDF较小，即采样频率较低，每个采样点代表的区间范围（1/PDF）较大；而在被积函数的函数值较大的区间上，PDF较大，即采样频率较高，每个采样点代表的区间范围（1/PDF）较小。

采样点生成

现有的大多数随机数生成算法，往往只能按照均匀分布生成采样点；要按照某个PDF生成采样点，往往需要先求出PDF的定积分，得到CDF（Cumulative Distribution Function，（累积）分布函数），再求出CDF的反函数CDF-1，将均匀分布的采样点输入到CDF-1，即可得到按照某个PDF生成的采样点；虽然，当PDF与被积函数相等时，蒙特卡洛积分的误差最小，但是，被积函数的定积分往往并不容易求得（否则，直接求得被积函数的定积分即可，根本没有使用蒙特卡洛积分的必要），实际中往往使用一个与被积函数接近但是又比较容易求得定积分的函数作为PDF。

参考文献

1.Ravi Ramamoorthi. "Topic, Monte Carlo Integration." Berkeley University Of California, CS 294-13, Advanced Computer Graphics, Fall 2009. 2.Mark Colbert, Jaroslav Kivánek. "GPU-Based Importance Sampling." GPU Gems 3 Chapter 20 2007.

本文转载自异步社区。

原文链接：https://www.epubit.com/articleDetails?id=N87afe41b-795d-40b4-81f6-41c2e054cd0d