堆

堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

堆{k1,k2,ki,…,kn} (ki <= k2i,ki <= k2i+1)|(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)

关于堆

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值

• 堆总是一棵完全二叉树下面。

• 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

完全二叉树

说到堆排序就不能不提完全二叉树这些基本概念在网上到处都是我摘了个最简单的。。

完全二叉树除最后一层外每一层上的节点数均达到最大值在最后一层上只缺少右边的若干结点。

我自己总结认为正是因为有下面两个特点

• 只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边即叶子结点只能在层次最大的两层上出现存储方式的规则性

• 若i>1tree的双亲为tree[i div 2]其父子结点值的规律性

才使得其进行排序非常方便。

堆排序

堆排序求升序用大顶堆求降序用小顶堆。

本例用求降序的小顶堆来解析。

堆排序步骤如下

1、我们将数据49、38、65、97、76、13、27、50建立一个数组$arr

2、用数组$arr建立一个小顶堆主要步骤会在代码注释里解释下图是用一个数组建立小顶堆的过程

3、将堆的根最小的元素与最后一个叶子交换并将堆长度减一跳到第二步

4、重复2-3步直到堆中只有一个结点排序完成。

堆排序的PHP实现

//因为是数组,下标从0开始,所以,下标为n根结点的左子结点为2n+1,右子结点为2n+2;  
//初始化值,建立初始堆
$arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50);
$arrSize=count($arr);

//将第一次排序抽出来因为最后一次排序不需要再交换值了。
buildHeap($arr,$arrSize);

for($i=$arrSize-1;$i>0;$i--){
    swap($arr,$i,0);
    $arrSize--;
    buildHeap($arr,$arrSize);   
}

//用数组建立最小堆
function buildHeap(&$arr,$arrSize){
    //计算出最开始的下标$index,如图,为数字"97"所在位置,比较每一个子树的父结点和子结点,将最小值存入父结点中
    //从$index处对一个树进行循环比较,形成最小堆
    for($index=intval($arrSize/2)-1; $index>=0; $index--){
        //如果有左节点,将其下标存进最小值$min
        if($index*2+1<$arrSize){
            $min=$index*2+1;
            //如果有右子结点,比较左右结点的大小,如果右子结点更小,将其结点的下标记录进最小值$min
            if($index*2+2<$arrSize){
                if($arr[$index*2+2]<$arr[$min]){
                    $min=$index*2+2;
                }
            }
            //将子结点中较小的和父结点比较,若子结点较小,与父结点交换位置,同时更新较小
            if($arr[$min]<$arr[$index]){
                swap($arr,$min,$index);
            }   
        }
    }
}

//此函数用来交换下数组$arr中下标为$one和$another的数据
function swap(&$arr,$one,$another){
    $tmp=$arr[$one];
    $arr[$one]=$arr[$another];
    $arr[$another]=$tmp;
}

下面是排序的最终结果

2017.12.07 添加

堆用来进行全排序时间复杂度是 O(nlogn)

而快排用来全排序平均时间复杂度也是 O(nlogn)

但堆排序可以用来求 TopK 时堆的时间复杂度为 O(Klog2(n)因为它只需要进行 K 轮排序即可。