3.3 二阶系统时域分析

定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统 . 它在控制工程中的应用极为广泛 . 许多高阶系统在一定的条件下 , 也可简化为二阶系统来研究 .
典型二阶系统的微分方程：
$$T^2\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+2\zeta T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t),t\ge 0$$
其数学模型图如下：

开环传递函数为 :
$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s}$$
闭环传递函数为 :
$$\Phi (s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

瞬态响应指标：

1. 通常要求系统的瞬态响应既具有充分的快速性 , 又具有足够的阻尼 .
2. 为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性 , 阻尼比必须选择在 0 . 4 ~ 0 . 8 之间 ( 小于 0 . 4 的值会造成系统瞬态响应严重过调 , 大于 0 . 8 则会导致系统响应变得缓慢 ) .(处于欠阻尼)
3. (平稳性 VS 快速性 ) 最大超调量和上升时间是相互矛盾的 ,最大超调量和上升时间两者不可能同时都达到比较小的数值 , 如果其中一个比较小 , 那么另一个必然比较大 .（寻找最优解）
4. 动态性能和稳态误差相互矛盾 ( 与开环增益 K 有关 ) .
   关系式为：(LPLS终值定理)
   $$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\times \frac{s(s+2\zeta {\omega }_n)}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}\times \frac{1}{s^2}=\frac{2\zeta }{{\omega }_n}$$

改善二阶系统响应特性措施：
为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正 . 附加环节称为校正环节 , 比例微分控制和速度反馈是较常用的校正方法

1. 输出量的速度反馈控制：
   将输出量的速度信号 c ’ ( t ) 采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号 e ( t ) 比较 , 构成一个内反馈回路 , 简称速度反馈
   
   闭环传递函数：
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+(2\zeta {\omega }_n+K_t{\omega }_n^2)s+{\omega }_n^2}$$
   等效阻尼比 :
   $${\zeta }_t=\zeta +\frac{1}{2}{K}_t{\omega }_n$$
   对比原来阻尼比，等效阻尼比增大了 , 振荡倾向和超调量减小 , 改善了系统的平稳性 .
2. 误差的比例 - 微分控制：
   以误差信号 e ( t ) 与误差信号的微分信号 e ’ ( t) 的和产生控制作用 . 简称 PD控制
   
   系统开环传递函数为 :
   $$G(s)=\frac{C(s)}{E(s)}=\frac{{\omega }_n^2(1+T_{d}S)}{s(s+2\zeta {\omega }_m)}$$

闭环传递函数为 :
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2(1+T_{d}s)}{s^2+(2\zeta {\omega }_n+T_d{\omega }_n^2)s+{\omega }_n^2}$$
等效阻尼比 :
$${\zeta }_d=\zeta +\frac{1}{2}{T}_d{\omega }_n$$

• 引入了比例一微分控制 , 使系统的等效阻尼比加大了 , 从而 抑制了振荡 , 使超调减弱 , 可以改善系统的平稳性 .
• 微分作用之所以能改善动态性能 , 因为它产生一种早期控制 (或称为超前控制 ) , 能在实际超调量出来之前 , 就产生一个修正作用 .

比例-微分控制等效图：

即由原输出上叠加一个超前量；图示

由等效阻尼比可以推算得到：
增加 T _a 项 , 增大了等效阻尼比 ζ _a , 使 c _1 ( t ) 曲线比较平稳 . 另一方面 , 它又使 c 1 ( t ) 加上了它的微分信号 c 2 ( t ) ,加速了 c ( t ) 的响应速度 , 但同时削弱了等效阻尼比 ζ d 的平稳作用 .
总结 :
引入误差信号的比例一微分控制 , 能否真正改善二阶系统的响应特性 , 还需要适当选择微分时间常数 T . 若大一些 , 使 c 1 ( t ) 具有过阻尼的形式 , 而闭环零点的微分作用 , 将在保证响应特性平稳的情况下 , 显著地提高系统的快速性 .

3. 两者的比较：

从实现角度看 ：比例一微分控制的线路结构比较简单 , 成本低 ; 而速度反馈控制部件则较昂贵 .
从抗干扰来看 ：前者抗干扰能力较后者差 .
从控制性能看 ：两者均能改善系统的平稳性 , 在相同的阻尼比和自然频率下 , 采用速度反馈不足之处是其会使系统的
开环增益下降 , 但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱 .

3.4高阶系统的时域分析

3.4.1高阶系统的时域响应

高阶系统的传递函数为：

$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n},n⩾m$$
$$=\frac{K(s+z_1)(s+z_2)\cdots (s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots (s+p_m)},n⩾m$$
零极点的另一种形式：

其单位阶跃响应函数为：

高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零 、极点分布 .

定性分析：
对于闭环极点全部位于 s 左半平面的高阶系统 ( 否则系统不稳定 ) , 极点为实数 ( 指数衰减项 ) 和共轭复数 ( 衰减正弦项 )的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离 . 远 , 衰减的快 ; 近 , 衰减的慢 . 所以 , 近极点对瞬态响应影响大 .
系数 aj βl Yl 取决于零、极点分布 . 有以下几种情况 :

若极点远离原点 , 则系数小 ;
极点靠近一个零点 , 远离其他极点和零点 , 系数小 ;
极点远离零点 , 又接近原点或其他极点 , 系数大 .

衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用 .
[主导极点 ] : 满足下列条件的极点称为主导极点 .

系统中有一实数极点 ( 或一对复数极点 ) 距虚轴最近 ;
附近无闭环零点 ;
其他闭环极点距虚轴的距离是它的 5 倍以上 .

主导极点在 c ( t ) 中的对应项衰减最慢 , 系数最大 , 系统的瞬态性能指标主要由它决定 , 体现其主导作用 . 具有主导极点的高阶系统**可近似为二阶系统 .**利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析 .高阶系统近似简化原则 :

在近似前后 , 确保输出稳态值不变 ;
在近似前后 , 瞬态过程基本相差不大 .

[偶极子 ] : 如果闭环系统的一个零点与一个极点彼此十分靠近 , 常称这样的闭环零、极点为偶极子 . 只要偶极子不十分靠近坐极原点 , 则它对系统瞬态响应的影响就很小 , 因而可忽略它们的存在 . 但影响稳态性能 .

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