信号与系统丨常见的系统和基本信号

AXYZdong 发表于 2022/02/17 10:18:42 2022/02/17
【摘要】 线性系统、时不变系统、线性时不变系统和常用的基本信号。

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1、线性系统

1.1概念

线性(linearity property)：均匀性、叠加性。
线性系统：指具有线性特性的系统
系统的线性特性：
                                     f 1 ( t ) → \underrightarrow{f_1(t)} H H y 1 ( t ) → \underrightarrow{y_1(t)}

                                     f 2 ( t ) → \underrightarrow{f_2(t)} H H y 2 ( t ) → \underrightarrow{y_2(t)}

              α 1 f 1 ( t ) + α 2 f 2 ( t ) → \underrightarrow{\alpha _1f_1(t)+\alpha _2f_2(t)} H H α 1 y 1 ( t ) + α 2 y 2 ( t ) → \underrightarrow{\alpha _1y_1(t)+\alpha _2y_2(t)}

1.2线性系统的判断方法

先线性运算，再经系统 = 先经系统，再线性运算

f 1 ( t ) →   C 1   C 1 f 1 ( t ) → f 2 ( t ) →   C 2   C 2 f 2 ( t ) → } → C 1 f 1 ( t ) + C 2 f 2 ( t ) → H → H { C 1 f 1 ( t ) + C 2 f 2 ( t ) } \left. \begin{array}{l} \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $C_1$ $\underrightarrow{C_1f_1(t)}$}\\ \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $C_2$ $\underrightarrow{C_2f_2(t)}$} \end{array} \right\} \to C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \to H \to H \lbrace C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \rbrace

f 1 ( t ) →   H   H { f 1 ( t ) } → f 2 ( t ) →   H   H { f 2 ( t ) } → } → H { f 1 ( t ) } + H { f 2 ( t ) } → C → C 1 H { f 1 ( t ) } + C 2 H { f 2 ( t ) } \left. \begin{array}{l} \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{ H \lbrace f_1(t) \rbrace }$}\\ \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{ H \lbrace f_2(t) \rbrace}$} \end{array} \right\} \to H \lbrace f_1(t) \rbrace+H \lbrace f_2(t) \rbrace \to C \to C_1H \lbrace f_1(t) \rbrace + C_2H \lbrace f_2(t) \rbrace

若 H { C 1 f 1 ( t ) + C 2 f 2 ( t ) } = C 1 H { f 1 ( t ) } + C 2 H { f 2 ( t ) } H \lbrace C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \rbrace = C_1H \lbrace f_1(t) \rbrace + C_2H \lbrace f_2(t) \rbrace

则系统 H H 为线性系统

例：判断方程所描述的系统的线性

y ( k ) + ( k − 1 ) y ( k − 1 ) = f ( k ) y(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)

解：

f 1 ( k ) → y 1 ( k ) , f 2 ( k ) → y 2 ( k ) f 1 ( k ) + f 2 ( k ) = y 1 ( k ) + y 2 ( k ) + ( k − 1 ) { y 1 ( k − 1 ) + y 2 ( k − 1 ) } f 1 ( k ) + f 2 ( k ) → y 1 ( k ) + y 2 ( k ) f 1 ( k ) + f 2 ( k ) = y 1 ( k ) + y 2 ( k ) + ( k − 1 ) { y 1 ( k − 1 ) + y 2 ( k − 1 ) } f_1(k) \to y_1(k) ,f_2(k) \to y_2(k)\\ f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1) \rbrace\\ f_1(k)+f_2(k) \to y_1(k) + y_2(k)\\ f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1) \rbrace\\

故：方程所描述的系统是线性系统。

2、时不变系统

2.1概念

时不变系统：一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，这样的系统称为时不变系统。

时不变性：系统具有上述的性质称为时不变性。

2.2判断方法

先时移，再经系统 = 先经系统，再时移

f ( t ) → 时移 τ → f ( t − τ ) → H → H { f ( t − τ ) } f(t)\to 时移\tau \to f(t-\tau) \to H \to H \lbrace f(t-\tau) \rbrace \\

f ( t ) → H → H { f 1 ( t ) } 令 y ( t ) = H { f 1 ( t ) } → → 时移 τ → y ( t − τ ) \underrightarrow{f(t)} H \to H \lbrace f_1(t) \rbrace \underrightarrow{令y(t)=H \lbrace f_1(t) \rbrace} \to 时移\tau \to y(t-\tau)\\

若： H { f ( t − τ ) } = y ( t − τ ) H \lbrace f(t-\tau) \rbrace = y(t-\tau) ，则系统 H H 是时不变系统。

3、线性时不变系统（Linear and Time-invariant System）

线性时不变系统：系统既是线性的，又是时不变的；或系统的方程为线性常系数微分方程。

4、常用的基本信号

1、单位阶跃信号（unit step signal）

ϵ ( t ) = { 1 , t>0 0 , t<0 \epsilon(t) = \begin{cases} 1, & \text{t>0} \\ 0, & \text{t<0} \end{cases}

时移 t 0 t_0

ϵ ( t − t 0 ) = { 1 , t > t 0 0 , t < t 0 \epsilon(t-t_0) = \begin{cases} 1, & t>t_0\\ 0, & t<t_0 \end{cases}

在这里插入图片描述

2、矩形脉冲信号（门函数）

g τ ( t ) = { 1 , ( ∣ t ∣ < τ 2 ) 0 , ( ∣ t ∣ > τ 2 ) g_\tau(t) = \begin{cases} 1, & (|t|<\frac{\tau}{2})\\ 0, & (|t|>\frac{\tau}{2}) \end{cases}

在这里插入图片描述

3、斜坡信号（ramp signal）

r ( t ) = { 0 , t < 0 t , t ≥ 0 r(t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & t \geq 0 \end{cases}\\

                                                                                                         = t ϵ ( t ) =t\epsilon(t)

在这里插入图片描述

4、取样函数（sampling function）

S a ( t ) = sin ⁡ t t ( − ∞ < t < + ∞ ) S_a(t)=\frac{\sin t}{t} (-\infty <t<+\infty)

在这里插入图片描述

①偶函数
② 当 t = 0 t=0 时， S a ( t ) = 1 S_a(t)=1 为最大值
③ 曲线呈衰减振荡
④

∫ 0 ∞ S a ( t )   d t = π 2 , ∫ − ∞ ∞ S a ( t )   d t = π \int_0^\infty {S_a(t)} \,{\rm d}t=\frac{\pi}{2} , \int_ {-\infty}^{\infty} {S_a(t)} \,{\rm d}t=\pi

取样函数常用形式 sin ⁡ c ( t ) = sin ⁡ π t π t = S a ( π t ) \sin c(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=S_a(\pi t)

5、单位冲激函数（unit impulse function）

视作矩形脉冲的极限

p;   在这里插入图片描述

δ ( t ) = { ∞ , t = 0 0 , t ≠ 0 \delta(t) = \begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq0 \end{cases}

∫ − ∞ ∞ δ ( t )   d t = 1 \int_ {-\infty}^\infty {\delta(t)} \,{\rm d}t=1

延时冲激： A δ ( t − t 0 ) A\delta(t-t_0)

冲激偶： δ ′ ( t ) = d δ ( t ) d t \delta \prime(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}

性质：1、偶函数： δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t)
          2、取样性：

f ( t ) ⋅ δ ( t ) = f ( 0 ) ⋅ δ ( t ) f ( t ) ⋅ δ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) ⋅ δ ( t − t 0 ) f(t)\cdot \delta(t)=f(0)\cdot \delta(t)\\ f(t)\cdot \delta(t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)\\

∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t )   d t = f ( 0 ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t − t 0 )   d t = f ( t 0 ) \int_ {-\infty}^\infty {f(t)\cdot \delta(t)} \,{\rm d}t=f(0)\\ \int_ {-\infty}^\infty {f(t)\cdot \delta(t-t_0)} \,{\rm d}t=f(t_0)\\

δ ( t ) \delta(t) 与 ϵ ( t ) \epsilon(t) 的关系：

∫ − ∞ t δ ( τ )   d τ = ϵ ( t ) \int_ {-\infty}^t {\delta(\tau)} \,{\rm d}\tau=\epsilon(t)

d ϵ ( t ) d t = δ ( t ) \frac{d\epsilon(t)}{dt}=\delta(t)

利用该性质可对不连续函数求导。

  本次的分享就到这里

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