Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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一、阶跃响应

1、定义

LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为 $s(t)$

2、一阶系统方程的阶跃响应

对于一阶系统方程

$$y '(t)+ay(t)=b\epsilon(t)$$

则零状态响应：

$$y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0)$$

则阶跃响应：

$$y (t)=s(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\epsilon(t) e^{a \tau} d \tau = \frac {b}{a} \cdot(1-e^{-at}),(t \geq0)$$

3、阶跃响应的测量

二、冲激响应

1、定义

储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为 $h(t)$

2、一阶系统的冲激响应

对于一阶系统方程

$$y '(t)+ay(t)=b\delta(t)$$

则冲激响应：

$$y (t)=h(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\delta(t) e^{a \tau} d \tau = b \cdot e^{-at} \cdot \epsilon(t)$$

3、例一（ $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)$）

描述某系统的微分方程为 $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)$，求其冲激响应 $h(t)$

解：根据 $h(t)$定义有 $h''(t)+5h'(t)+6h(t)= \delta(t),\\ 并且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+})$

$由于上式等号右端含有 \delta(t) , 故h''(t)含有 \delta(t)，从而h'(t)跃变 ,即h' ({0_+}) \neq h'({0_-})\\ 而h(t) 在t=0处连续，即h({0_-}) = h({0_+})=0，上式两边积分有：\\ [h'({0_+}) - h'({0_-})]+5[h({0_-}) -h({0_+})]+6\int_{0-}^{0+}h(t) dt=1$

整理得： $h'({0_+}) =1+ h'({0_-})=1$

对 $t>0$时，有 $h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0$

不难求出其齐次解为： $C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t},$

$\therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

代入初值求得： $h(t)=(e^{-2t}-e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

4、例二（ $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)$）

描述某系统的微分方程为 $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)$，求其冲激响应 $h(t)$

解：根据 $h(t)$定义有

$$h''(t)+5h'(t)+6h(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t) \\ \tag{1}$$

$并且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+})$
由方程可知： $h(t)$中含有 $\delta(t)$
故令：

$$\begin{cases} h(t)=a \delta(t) +P_1(t) , [P_i(t)中为不含有\delta(t的函数) ]\\ h'(t)=a \delta'(t) + b \delta(t) + P_2(t)\\ h''(t)=a \delta''(t) + b \delta'(t) + c \delta(t) + P_3(t)\\ \end{cases}$$

代入式（1）整理得：

$$a \delta''(t) + (b+5a) \delta'(t) + (6a+5b+c) \delta(t) + P_1(t)+P_2(t)+ P_3(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t)$$

利用 $\delta(t)$系数匹配，得 $a=1,b=-3,c=12$

$$h(t)= \delta(t) +P_1(t) \tag{2}$$

$$h'(t)= \delta'(t) -3 \delta(t) + P_2(t) \tag{3}$$

$$h''(t)= \delta''(t) -3 \delta'(t) + 12 \delta(t) + P_3(t) \tag{4}$$

$对式（3）从0_{-}到0_{+}积分h(0_{+})-h(0_{-})=-3 \\ 对式（4）从0_{-}到0_{+}积分h'(0_{+})-h'(0_{-})=12$

对 $t>0$时,有 $h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0,特征根-2，-3$

不难求出其齐次解为： $C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t},$

$\therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

代入初始条件 $h(0_{+})=-3,h'(0_{+}) =12$求得： $h(t)=(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

$结合式（2），h(t)= \delta(t)+(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

5、阶跃响应与冲激响应的关系

$$\begin{cases} h(t)= \frac{ds(t)}{dt}\\ \\ s(t)= \int _{-\infty}^{t}h( \tau ) d \tau \end{cases}$$

  本次的分享就到这里

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