信号与系统丨系统的微分方程及其响应

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
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1、LTI系统的微分方程

描述线性时不变（LTI）系统的输入–输出特性的是==常系数线性微分方程==

时域分析方法：从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入信号通过系统响应后的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法。

对于电系统，建立其微分方程的依据：

$$KCL:\sum i(t)=0\\ KVL: \sum u(t)=0\\ VCR:U_R(t)=R \cdot i(t),u_L(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt},i_C(t)=C \cdot \frac{du(t)}{dt}$$

对于图（a）中RC电路

$$RC \cdot \frac{du_C(t)}{dt} +u_C(t)=u_S(t)\\ 即:u ' _C(t) + \frac{1}{RC} \cdot u_C(t) = \frac{1}{RC} \cdot u_S(t)$$

对于图（b）中RL电路

$$\frac{L \cdot di_L(t)}{R \cdot dt} +i_L(t)=i_S(t)\\ 即:i ' _L(t) + \frac{R}{L} \cdot i_L(t) = \frac{R}{L} \cdot i_S(t)$$

以上可以总结出一般形式：== $y '(t)+ay(t)=\chi(t)$==

2、系统的响应

2.1、零输入响应（储能响应）

从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）

2.2、零状态响应（受激响应）

当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）

对于一阶系统方程

$$y '(t)+ay(t)=\chi(t)$$

零状态响应：

$$y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0)$$

2.3、完全响应

$$y(t)=y_{ZI}(t)+y_{ZS}(t),[全响应=零输入+零状态]$$

2.4、例一( $y ''(t) + 6y '(t) + 8y(t) =f(t),t>0$)

已知某二阶线性连续时间系统的动态方程：

$$y''(t) + 6y'(t) + 8y(t) =f(t),t>0\\ 初始条件：y({0_-})=1,y' ({0_-})=2,求系统的零输入响应$$

解：

$系统的特征方程：s^2+6s+8=0,特征根：s_1=-2，s_2=-4 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-4t},t>0 \\ y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) = k_1+k_2=1\\ y'(0)=y_X'({0_-}) = -2k_1-4k_2=2\\ y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=3，k_2=-2$

可得零输入响应： $y_X(t)=3e^{-2t}-2e^{-4t},t \ge0$

2.5、例二( $y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0$)

$$y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0\\ 初始条件：y({0_-})=2,y \prime ({0_-})=0,f(t)= \epsilon(t), \\ 求系统的零输入响应和零状态响应\\$$

解：
$(1)零输入响应y_X(t)激励为0，故y_X(t)满足$

$y _X''(t) + 3y_X'(t) + 2y_X(t) =0\\ 系统的特征方程：s^2+3s+2=0,特征根：s_1=-2，s_2=-1 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-t},t>0 \\ y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) =2\\ y'(0)=y_X'({0_-}) = 0\\ y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=4，k_2=-2$

可得零输入响应： $y_X(t)=4e^{-t}-2e^{-2t},t >0$

$(2)零状态响应y_f(t)满足$

$$y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =2 \delta (t)+6 \epsilon(t),并有y_f({0_-}) = y_f({0_+}) = 0\\$$

$由于上式等号右端含有 \delta(t) , 故y _f''(t)含有 \delta(t)，从而y_f'(t)跃变 ,即y'_f({0_+}) \neq y'_f({0_-})\\ 而y_f(t) 在t=0处连续，即y_f({0_-}) = y_f({0_+})=0，上式两边积分有：\\ [y'_f({0_+}) - y'_f({0_-})]+3[y_f({0_-}) -y_f({0_+})]+2\int_{0-}^{0+}y_f(t) dt=2+6\int_{0-}^{0+} \epsilon(t)dt$

整理得： $y'_f({0_+}) =2+ y'_f({0_-})=2$

对 $t>0$时，有 $y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =6$

不难求出其齐次解为： $C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t},$其特解为常数 $3$

$\therefore y_f(t)=C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t}+3$

代入初值求得： $y_f(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3,t \geq0$

2.6、响应的分类

  本次的分享就到这里

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