Author：AXYZdong 自动化专业 工科男有一点思考，有一点想法，有一点理性！ 定个小小目标，努力成为习惯！在最美的年华遇见更好的自己！
信号的时域分解与卷积积分
任意信号的分解 任意信号作用下的零输入响应 卷积积分的定义 卷积的图解法 卷积积分的性质
奇异（冲激）函数的卷积特性 卷积的微积分性质 卷积的时移特性
信号的时域分解与卷积积分
任意信号的分解
“
0
"
“0"
“ 0 "
f
(
0
)
f(0)
f ( 0 )
Δ
\Delta
Δ
p
(
t
)
p(t)
p ( t )
f
(
0
)
Δ
p
(
t
)
f(0) \Delta p(t)
f ( 0 ) Δ p ( t )
“
1
"
“1"
“ 1 "
f
(
Δ
)
f(\Delta)
f ( Δ )
Δ
\Delta
Δ
p
(
t
−
Δ
)
p(t-\Delta)
p ( t − Δ )
f
(
Δ
)
Δ
p
(
t
−
Δ
)
f(\Delta) \Delta p(t-\Delta)
f ( Δ ) Δ p ( t − Δ )
“
−
1
"
“-1"
“ − 1 "
f
(
−
Δ
)
f(-\Delta)
f ( − Δ )
Δ
\Delta
Δ
p
(
t
+
Δ
)
p(t+\Delta)
p ( t + Δ )
f
(
−
Δ
)
Δ
p
(
t
+
Δ
)
f(-\Delta) \Delta p(t+\Delta)
f ( − Δ ) Δ p ( t + Δ )
f
(
t
)
^
=
∑
n
=
−
∞
∞
f
(
n
Δ
)
Δ
p
(
t
−
n
Δ
)
\hat {f(t)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta) \Delta p(t-n\Delta)
f ( t ) ^ = ∑ n = − ∞ ∞ f ( n Δ ) Δ p ( t − n Δ )
lim
Δ
→
0
f
(
t
)
^
=
f
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
\lim_{\Delta \to 0} \hat{f(t)} =f(t) = \int _{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t- \tau) d \tau
Δ → 0 lim f ( t ) ^ = f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ
任意信号作用下的零输入响应
h
(
t
)
h(t)
h ( t )
δ
(
t
)
⟹
h
(
t
)
\delta(t) \implies h(t)
δ ( t ) ⟹ h ( t )
由时不变性：
δ
(
t
−
τ
)
⟹
h
(
t
−
τ
)
\delta(t - \tau) \implies h(t - \tau)
δ ( t − τ ) ⟹ h ( t − τ )
由齐次性：
f
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
⟹
f
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
f(\tau) \delta(t - \tau) \implies f(\tau) h (t - \tau)
f ( τ ) δ ( t − τ ) ⟹ f ( τ ) h ( t − τ )
由叠加性：
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
⟹
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \implies \int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h (t - \tau) d\tau
∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ ⟹ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ
y
f
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
,
卷积积分
y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau ,卷积积分
y f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ , 卷 积 积 分
卷积积分的定义
已知定义在区间
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
( − ∞ , + ∞ )
f
1
(
t
)
f_1(t)
f 1 ( t )
f
2
(
t
)
f_2(t)
f 2 ( t )
f
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
1
(
τ
)
f
2
(
t
−
τ
)
d
τ
f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau
f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
f
1
(
t
)
f_1(t)
f 1 ( t )
f
2
(
t
)
f_2(t)
f 2 ( t )
f
(
t
)
=
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
f(t)=f_1(t) *f_2(t)
f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )
温馨提醒：
τ
\tau
τ
t
t
t
y
f
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
f
1
(
t
)
∗
h
(
t
)
y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau =f_1(t) *h(t)
y f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ = f 1 ( t ) ∗ h ( t )
卷积的图解法
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
1
(
τ
)
f
2
(
t
−
τ
)
d
τ
f_1(t) *f_2(t) = \int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
四步图解法：
t
换为
τ
→
f
1
(
τ
)
,
f
2
(
τ
)
t 换为 \tau \to f_1(\tau), f_2(\tau)
t 换 为 τ → f 1 ( τ ) , f 2 ( τ )
（2）反转平移（折叠平移）：
f
2
(
τ
)
反转
→
f
2
(
−
τ
)
,
再右移
t
→
f
2
(
−
(
τ
−
t
)
)
=
f
2
(
t
−
τ
)
f_2(\tau)反转\to f_2(-\tau),再右移t\to f_2(-(\tau -t))=f_2(t- \tau)
f 2 ( τ ) 反 转 → f 2 ( − τ ) , 再 右 移 t → f 2 ( − ( τ − t ) ) = f 2 ( t − τ ) 【左加右减在
τ
\tau
τ
（3）乘积：
f
1
(
τ
)
f
2
(
t
−
τ
)
f_1(\tau) f_2(t - \tau)
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ )
（4）积分：
τ
\tau
τ
−
∞
-\infty
− ∞
+
∞
+\infty
+ ∞
卷积积分的性质
奇异（冲激）函数的卷积特性
1、
f
(
t
)
∗
δ
(
t
)
=
δ
(
t
)
∗
f
(
t
)
=
f
(
t
)
f(t)*\delta(t) = \delta(t)* f(t) = f(t)
f ( t ) ∗ δ ( t ) = δ ( t ) ∗ f ( t ) = f ( t )
2、
f
(
t
)
∗
δ
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
,
f
(
t
)
∗
δ
(
n
)
(
t
)
=
f
(
n
)
(
t
)
f(t)* \delta'(t) = f'(t) , f(t)* \delta^{(n)}(t) = f^{(n)}(t)
f ( t ) ∗ δ ′ ( t ) = f ′ ( t ) , f ( t ) ∗ δ ( n ) ( t ) = f ( n ) ( t )
3、
f
(
t
)
∗
ϵ
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
ϵ
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
t
f
(
τ
)
d
τ
f(t)*\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \epsilon(t- \tau)d\tau = \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau
f ( t ) ∗ ϵ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) ϵ ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ
ϵ
(
t
)
∗
ϵ
(
t
)
=
t
ϵ
(
t
)
\epsilon(t)*\epsilon(t) = t\epsilon(t)
ϵ ( t ) ∗ ϵ ( t ) = t ϵ ( t )
卷积的微积分性质
卷积的时移特性
卷积的时移特性说白了就是：一个卷积积分，时间
t
t
t
f
(
t
)
=
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
,
f(t)=f_1(t)*f_2(t),
f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ,
f
1
(
t
−
t
1
)
∗
f
2
(
t
−
t
2
)
=
f
1
(
t
−
t
1
−
t
2
)
∗
f
2
(
t
)
=
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
−
t
1
−
t
2
)
=
f
(
t
−
t
1
−
t
2
)
f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2) \\ = f_1(t-t_1-t_2)*f_2(t)\\ = f_1(t)*f_2(t-t_1-t_2)\\ =f (t-t_1-t_2)
f 1 ( t − t 1 ) ∗ f 2 ( t − t 2 ) = f 1 ( t − t 1 − t 2 ) ∗ f 2 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t − t 1 − t 2 ) = f ( t − t 1 − t 2 )
本次的分享就到这里
好书不厌百回读，熟读自知其中意。将学习成为习惯，用知识改变命运，用博客见证成长，用行动证明努力。“点赞” “评论” “收藏”听说 👉 点赞 👈 的人运气不会太差，每一天都会元气满满呦！ ^ _ ^ 关注 👈我哦！
如果以上内容有任何错误或者不准确的地方，欢迎在下面👇留个言。或者你有更好的想法，欢迎一起交流学习~~~
评论（0）